树——二叉树的遍历

1. 前言

    所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。

2. 二叉树遍历的定义

    二叉树的遍历过程其实也是将二叉树的非线性序列转换成一个线性序列的过程。二叉树是一种非线性结构，通过遍历二叉树，按照某种规律对二叉树中的每个结点进行访问，且仅访问一次，得到一个顺序序列。

    从二叉树的递归定义可知，一棵非空的二叉树由根结点及左、右子树这三个基本部分组成。因此，在任一给定结点上，可以按某种次序执行三个操作：
    （1）访问结点本身(N)，
    （2）遍历该结点的左子树(L)，
    （3）遍历该结点的右子树(R)。
以上三种操作有六种执行次序：
    NLR、LNR、LRN、NRL、RNL、RLN。
注意：
    前三种次序与后三种次序对称，故只讨论先左后右的前三种次序。
根据访问结点操作发生位置命名：
　　① NLR：前序遍历(PreorderTraversal亦称(先序遍历))
         ——访问结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
　　② LNR：中序遍历(InorderTraversal)
        ——访问结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。
 　　③ LRN：后序遍历(PostorderTraversal)
        ——访问结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
注意：
    由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node)、L(Left subtlee)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

3. 遍历算法

① 先序遍历的递归算法定义：若二叉树非空，则依次执行如下操作：
    (1) 访问根结点；
    (2) 遍历左子树；
    (3) 遍历右子树。
② 中序遍历的递归算法定义：若二叉树非空，则依次执行如下操作：
    (1)遍历左子树；
    (2)访问根结点；
    (3)遍历右子树。
③ 后序遍历得递归算法定义：若二叉树非空，则依次执行如下操作：
    (1)遍历左子树；
    (2)遍历右子树；
    (3)访问根结点。

（1）二叉树的先序遍历的递归算法如下：

 

void preorder(BTree *b) 
{ 
    if(b!=NULL) 
    {
        printf("%d",b->data);
        preorder(b->lchild);
        preorder(b->rchild);
    }
} 

 

 

（2）二叉树的中序遍历的递归算法如下：

void inorder(BTree*b)
{ 
    if(b!=NULL) 
    {
        inorder(b->lchild); 
        printf("%d",b->data);
        inorder(b->rchild);
    } 
}

 

（3）二叉树的后序遍历的递归算法如下：

void postorder(BTree*b)
{ 
    if(b!=NULL) 
    {
        postorder(b->lchild); 
        postorder(b->rchild); 
        printf("%d",b->data);
    } 
} 

 

4. 遍历二叉树的执行踪迹

    三种递归遍历算法的搜索路线相同（如下图虚线所示）。
    具体线路为：从根结点出发，逆时针沿着二叉树外缘移动，对每个结点均途径三次，最后回到根结点。

 

图 遍历二叉树的搜索路径

遍历序列
（1） 中序序列（左中右）
    中序遍历二叉树时，对结点的访问次序为中序序列
　【例】中序遍历上图所示的二叉树时，得到的中序序列为：
                D B A E C F
（2） 先序序列（中左右）
    先序遍历二叉树时，对结点的访问次序为先序序列
    【例】先序遍历上图所示的二叉树时，得到的先序序列为：
                A B D C E F
（3） 后序序列（左右中）
    　后序遍历二叉树时，对结点的访问次序为后序序列
　【例】后序遍历上图所示的二叉树时，得到的后序序列为：
                D B E F C A
  注意：
　　（1） 在搜索路线中，若访问结点均是第一次经过结点时进行的，则是前序遍历；若访问结点均是在第二次(或第三次)经过结点时进行的，则是中序遍历(或后序遍历)。只要将搜索路线上所有在第一次、第二次和第三次经过的结点分别列表，即可分别得到该二叉树的前序序列、中序序列和后序序列。
　　（2） 上述三种序列都是线性序列，有且仅有一个开始结点和一个终端结点，其余结点都有且仅有一个前趋结点和一个后继结点。为了区别于树形结构中前趋(即双亲)结点和后继(即孩子)结点的概念，对上述三种线性序列，要在某结点的前趋和后继之前冠以其遍历次序名称。
      【例】上图所示的二叉树中结点C，其前序前趋结点是D，前序后继结点是E；中序前趋结点是E，中序后继结点是F；后序前趋结点是F，后序后继结点是A。但是就该树的逻辑结构而言，C的前趋结点是A，后继结点是E和F。

 

5. 二叉链表的

（1）基本思想
    　基于先序遍历的构造，即以二叉树的先序序列为输入构造。
  注意：
    　先序序列中必须加入虚结点以示空指针的位置。
　【例】
　　建立上图所示二叉树，其输入的先序序列是：ABD∮∮∮CE∮∮F∮∮。
（2）构造算法
    　假设虚结点输入时以空格字符表示，相应的构造算法为：
    　void CreateBinTree (BinTree *T)
      { //构造二叉链表。T是指向根指针的指针，故修改*T就修改了实参(根指针)本身
        char ch；
        if((ch=getchar())=='') *T=NULL； //读人空格，将相应指针置空 
        else{ //读人非空格
              *T=(BinTNode *)malloc(sizeof(BinTNode))； //生成结点
              (*T)->data=ch；
              CreateBinTree(&(*T)->lchild)； //构造左子树
              CreateBinTree(&(*T)->rchild)； //构造右子树
             }
      }
  注意：
    　调用该算法时，应将待建立的二叉链表的根指针的地址作为实参。
【例】
　设root是一根指针(即它的类型是BinTree)，则调用CreateBinTree(&root)后root就指向了已构造好的二叉链表的根结点。