德莫弗-拉普拉斯定理

设在独立试验重复序列中，事件A在各次试验中发生的概率为p(0<p<1),随机变量η_n表示事件A在n次试验中发生的次数，则有_.

其中z为任意实数，q=1-p.

证：设随机变量ξ_i表示事件A在第i次试验中发生的次数(i=1,2,…,n,…)，则ξ_i服从“0-1”分布，_{<!--[if gte mso 9]><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1174840859"> </o:OLEObject> </xml><![endif]-->} 相互独立，且有

直接由列维定理就得此定理.

l 近似公式

在上述定理条件下，当n充分大时，η_n落在m₁与m₂之间的概率

_{<!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter" /> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" /> <v:f eqn="sum @0 1 0" /> <v:f eqn="sum 0 0 @1" /> <v:f eqn="prod @2 1 2" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @0 0 1" /> <v:f eqn="prod @6 1 2" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="sum @8 21600 0" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @10 21600 0" /> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" /> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" /> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:243pt; height:1in' o:ole=""> <v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title="" /> </v:shape><![endif]--> <!--[if gte mso 9]><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1174842389"> </o:OLEObject> </xml><![endif]-->} （5.19）

注：此定理实际上说明了当n充分大时，二项分布B(n,p)逼近正态分布N(np,npq)，这是因为η_n是服从二项分布B(n,p)的.

例2 某批产品的次品率为0.005，试求在10000件产品中次品不多于70件的概率P.

解 设ξ表示在任意抽取的10000件产品中的次品数，则ξ服从二项分布B(10000,0.005). 此时若直接计算概率

这是较困难的.我们利用近似公式来计算,则

已知n=10000,p=0.005,q=0.995,np=50, ，故<!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter" /> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" /> <v:f eqn="sum @0 1 0" /> <v:f eqn="sum 0 0 @1" /> <v:f eqn="prod @2 1 2" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @0 0 1" /> <v:f eqn="prod @6 1 2" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="sum @8 21600 0" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @10 21600 0" /> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" /> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" /> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:375.75pt; height:30.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title="" /> </v:shape><![endif]--> <!--[if gte mso 9]><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1174842564"> </o:OLEObject> </xml><![endif]-->

例3 某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q千瓦.由于工艺等原因,每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%,各台机器是否工作是相互独立的.求:（1）任一时刻有144至160台机器正在工作的概率;（2） 需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.99?

解 设事件A表示机器工作，则可把200台机器是否工作视作200重贝努利试验.已知n=200,p=0.75,q=0.25,np=150, ，故

（1）设η表示任一时刻处于工作状态的机器数，_{<!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter" /> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" /> <v:f eqn="sum @0 1 0" /> <v:f eqn="sum 0 0 @1" /> <v:f eqn="prod @2 1 2" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @0 0 1" /> <v:f eqn="prod @6 1 2" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="sum @8 21600 0" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @10 21600 0" /> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" /> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" /> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:234pt; height:50.25pt' o:ole=""> <v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title="" /> </v:shape><![endif]--> <!--[if gte mso 9]><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1174842714"> </o:OLEObject> </xml><![endif]-->}

（2）设任一时刻正在工作的机器数不超过m，则题目要求

利用（5.19）式得,<!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter" /> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" /> <v:f eqn="sum @0 1 0" /> <v:f eqn="sum 0 0 @1" /> <v:f eqn="prod @2 1 2" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @0 0 1" /> <v:f eqn="prod @6 1 2" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="sum @8 21600 0" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @10 21600 0" /> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" /> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" /> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:155.25pt; height:30.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title="" /> </v:shape><![endif]--> <!--[if gte mso 9]><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1174842917"> </o:OLEObject> </xml><![endif]-->

因<!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter" /> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" /> <v:f eqn="sum @0 1 0" /> <v:f eqn="sum 0 0 @1" /> <v:f eqn="prod @2 1 2" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @0 0 1" /> <v:f eqn="prod @6 1 2" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="sum @8 21600 0" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @10 21600 0" /> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" /> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" /> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:131.25pt; height:30.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title="" /> </v:shape><![endif]--> <!--[if gte mso 9]><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1174842949"> </o:OLEObject> </xml><![endif]--> ，故<!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter" /> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" /> <v:f eqn="sum @0 1 0" /> <v:f eqn="sum 0 0 @1" /> <v:f eqn="prod @2 1 2" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @0 0 1" /> <v:f eqn="prod @6 1 2" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="sum @8 21600 0" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @10 21600 0" /> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" /> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" /> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:27.75pt; height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/04/clip_image001.wmz" o:title="" /> </v:shape><![endif]--> <!--[if gte mso 9]><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1174843054"> </o:OLEObject> </xml><![endif]--> <!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter" /> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" /> <v:f eqn="sum @0 1 0" /> <v:f eqn="sum 0 0 @1" /> <v:f eqn="prod @2 1 2" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @0 0 1" /> <v:f eqn="prod @6 1 2" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="sum @8 21600 0" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @10 21600 0" /> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" /> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" /> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:92.25pt; height:30.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/02/clip_image001.wmz" o:title="" /> </v:shape><![endif]--> <!--[if gte mso 9]><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1174843121"> </o:OLEObject> </xml><![endif]--> ，查标准正态分布表

得<!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter" /> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" /> <v:f eqn="sum @0 1 0" /> <v:f eqn="sum 0 0 @1" /> <v:f eqn="prod @2 1 2" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @0 0 1" /> <v:f eqn="prod @6 1 2" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" /> <v:f eqn="sum @8 21600 0" /> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" /> <v:f eqn="sum @10 21600 0" /> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" /> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" /> </v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:87pt; height:15.75pt' o:ole=""> <v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/02/clip_image001.wmz" o:title="" /> </v:shape><![endif]--> <!--[if gte mso 9]><xml> <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1174843087"> </o:OLEObject> </xml><![endif]--> ，并注意到函数是单调增的，

则有，解得m≥164.25

因为m为整数，故取m=165,即需要供应165Q千瓦的电功率.

转自：http://4a.hep.edu.cn/NCourse/gltj/5/gltj05040103.htm