三个人决斗的问题解答 -- 100%原创 (2010-08-31 16:35:04)转载▼
标签: 三个小伙子 同时 爱上 空枪 命中率 几率 可能性 李小黄 教育 分类: 智力思考科普知识~教育篇
三个小伙子同时爱上了一个姑娘,为了决定他们谁能娶这个姑娘,他们决定用手-枪进行一次决斗。小李的命中率是30%,小黄比他好些,命中率是50%, 最出色的枪手是小林,他从不失误,命中率是100%。由于这个显而易见的事实,为公平起见,他们决定按这样的顺序:小李先开枪,小黄第二,小林最后。然后 这样循环,直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢?他们都应该采取什么样的策略?
Annie:这个题乍一看,晕死;冷静下来想想,理清思路,就不难了:
有话语权的只有小李:
1)小李、小黄要是不能命中小林,只要两轮,他们两个都死;小李要想活,就要争取轮不到小林开第二枪;
2) 第一轮结束,不是小林死就是小黄死,小李一定活;但是小李肯定希望活着的是小黄,小黄能活说明小黄第一枪已经命中小林;以小林50%的命中率,第一枪能命中小林,第二枪失误可能性会非常大;所以这样小李第二轮存活几率会高些,因此原则上讲小李会帮着小黄打小林;
3)不过小李考虑到万一他第一枪把小林打死了,小黄下一个开枪,肯定对象是他;即使小黄第一枪打不中他,轮到小李开第二枪,而以小李自己30%的命中率,不大可能连续两枪打死两个人的,所以这一枪很可能失误;下一个轮到小黄,而小黄的命中率是50%,小黄第二枪干掉他的可能性很大。
总结:为了争取最大的生存可能,小李希望第一轮小林倒下,但是不是他出的手;第一枪会考虑放弃。
详细讨论:
先考虑双人决斗--------
a)小李小黄决斗:
小李活的几率:N李=30%+(70%x50%x30%)+(70%x50%x70%x50%x30%)+...=30%x(1+a+a^2+...) a=70%x50%=35%
假设 A=1+a+a^2+...+a^n (0<a<1) 那么有Axa=a+a^2+...+a^(n+1)=> 当n趋于无穷大时,A-Axa=1 于是A=1/(1-a)
N李=30%x1/(1-35%)=30%/65%≈0.462
小黄活的几率:
N黄=70%x50%+70%x50%x70%x50%+....=A-1=1/(1-a) - 1 = 1/(1-0.35) - 1 =35%/65%≈0.538
b)小李小林决斗
小李活的几率=30%
小林活的几率=70%
c)小黄小林决斗
小黄活的几率=50%
小林活的几率=50%
-----------------
如果小李第一枪打小林---
小李活的可能性组合:
1)小李枪杀小林,小黄失误未杀死小李,小李小黄决斗最终小李活的几率:30%x50%x30%/65%≈0.069
2)小李未杀掉小林,小黄杀了小林,小李小黄决斗最终小李活的几率:70%x50%x30%/65%≈0.162
3)小李小黄均未杀掉小林,小林杀了小黄,小李小林决斗小李活的几率:70%x50%x30%=0.105
N李≈0.336
小黄活的可能性组合:
1)小李枪杀小林,小黄杀死小李: 30%x50%=0.15
2)小李枪杀小林,小黄失误未杀死小李,小李小黄决斗小黄活的几率:30%x50%x35%/65%≈0.081
3)小李失误未杀掉小林,小黄杀了小林,小李小黄决斗小黄活的几率:70%x50%x35%/65%≈0.188
N黄≈0.419
小林活的可能性:小李小黄均失误,小林杀小黄,小李小林对决小林活的几率: N林=70%x50%x70%=0.245
如果小李第一枪打小林,小黄生存的机会最大...
但是如果小李第一枪放弃---
小李活的可能性组合:
1)小黄杀了小林,小李小黄决斗最终小李活的几率:50%x30%/65%≈0.231
2)小黄未杀掉小林,小林杀了小黄,小李小林决斗小李活的几率:50%x30%=0.15
N李≈0.381
小黄活的可能性:小黄杀掉小林,小李小黄决斗小黄活的几率:N黄=50%x35%/65%≈0.269
小林活的可能性:小黄失误未杀掉小林,小林杀小黄,小李小林决斗小林活的几率: N林=50%x70%=0.35
如果小李第一枪放空枪,小李生存的机会最大,而且存活概率大于选择第一枪打小林的的存活概率。
结论:如果小李第一枪放空枪,小李的生存机会会最大;如果选择第一枪帮小黄打小林,则小黄的生存机会最大。
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