原帖内容:
这是本人读高中时发现的一个数学猜想,一直不能证明或推翻
任何一个不能被3整除的偶数,如488,按下列步骤:
若该数为偶数,则把它各个位数之和的平方作为新数;若该数为奇数则各个位数之和的立方作为新数,再把那个新数重复以上步骤(偶数就各位数之和平方,奇数就各位数之和立方),一步步计算下去,肯定能在9步内变为1!
如:
488(偶) 4+8+8=20 20*20=400
400(偶) 4+0+0=4 4*4=16
16(偶) 1+6=7 7*7=49
49(奇) 4+9=13 13*13*13=2197
2197(奇) 2+1+9+7=19 19*19*19=6859
6859(奇) 6+8+5+9=28 28*28*28=21952
21952(偶) 2+1+9+5+2=19 19*19=361
361(奇) 3+6+1=10 10*10*10=1000
1000(偶) 1+0+0+0=1 1*1=1
1
共9步
哪位高手能证明或推翻它??
227楼牛人证明:
很容易证明啊。
9步容易证明不成立,或者可以构造法给出反例,好像前面已经有人举出反例了,这里不赘述了。
改为有限步,给个简洁证明如下,不一定对,请指正。
第i步变换结果a(i)为完全平方数或者完全立方数,i>=1
子命题1:
存在自然数M,当a(i)>M的时候,a(i+1) <a(i)
假设10^n <=a(i) <10^(n+1)
设A(i)为a(i)各位数之和,则A(i) <=9(n+1)
a(i+1) <=A(i)^3 <=[9(n+1)]^3 <10^n <=a(i)
当n足够大,例如n=10,上式成立
所以子命题1成立,例如存在M=10^10
所以存在j,a(j) <M。
直观的解释,变换足够多次,必然有某次落到范围M以内。
又并且a(j)为完全平方数或者完全立方数。
而M以内的完全平方数或者完全立方数个数有限并且容易计算验证,所以即能证明或者找到反例。
经过程序验证,只有一个数,就是4913,运算不收敛到1.
4913=17^3
所以,假设存在某a(i)的各位数字之和为17,且a(i)为奇数(因为是17的立方)。
因为任何数被3除的余数与它各位数字之和被3除的余数相同。
所以,该a(i)被3除余数为2。
因为a(i)是完全平方数或者完全立方数,所以a(i)为完全立方数(因为任何完全平方数被3除不可能余数是2),
并且a(i)的立方根被3除余2.
a(i)的立方根也就是a(i-1)的各位数字之和,所以a(i-1)被3除余2. 并且a(i-1)为奇数(因为是立方)。
同理可得a(i-2)被3除余2. 并且a(i-2)为奇数。
依次类推到a(0)为奇数,与原命题a(0)为偶数矛盾。
所以上述a(i)不存在。
所以原命题成立。
证毕。
我的感想:
首先楼主有这么牛的猜想非常的了不起,尤其还是在高中的时候。只是不知道题目中的一些限制条件是怎么想到的,不会真的是一点一点尝试出来的吧。不过在我看到题目的时候最想不明白的就是这个9步是如何来的。其实原因非常的简单,9步变到1,这个是不可能的,别说是个位数相加后还要求平方和立方,就是对每次都求和来说,只要数字足够的大,想把结果收敛到个位也是不可能的。因为对于任意一个正数,一定可以找到无穷个对应的正数,使后者的各位数字之和等于前者。想找到一个10以上才能收敛到1的数字实在是非常的容易。
其次说下227楼的证明,确实很厉害。思路清晰,也没有用什么高深的知识,确实非常的令人佩服。不过我们也应该同时看到,计算机在解决这个题目中也起到了很重要的作用,单说想找到这个4913,如果不借助计算机而靠人力,不知道要费多少的时间。还有就是问题中提到的收敛区间,这个也可以非常简单的用227楼的思路找到,这个区间应该是2位数(各位数字相加的结果是2位数)。因为如果是3位数的话,那么最小也是100,假设想加前的数字各位数字都尽量取9(主要是为了减少位数),那么这个数字也至少要12位,而999的3次方也不过才12位,更何况当和是999的时候,想加前的数字至少有111位了。所以只要证明2位数这个范围内的结论成立即可!
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