德国数学家莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646-1716)死去已经近三百年,与我国考研有何关联?这个问题并非一般国人所知晓。
根据一项最新研究表明(请见,2012,Katz.Mikhai发表研究论文:"Leibniz's
Infinitesimals: Their Fictionality, Their Modern Implementations, and Their Foes from Berkeley to Russell and Beyond"),人们发现:“Leibnizian
calculus was free of contradictions, and was better grounded than Berkeley's empiricist criticisms.”意思是说,300年前莱布尼兹所创建的无穷小微积分没有逻辑矛盾,而且,其逻辑基础要比贝克莱的经验主义者批评还要更坚固。此文一出,让不少国内业界人士“大跌眼镜”(不读书者,眼镜不会掉下来)。
实际上,美国A.Robinson与J.Keisler的研究工作只能算是莱布尼兹无穷小微积分的一个“a
belated vindication”(迟到的辩护或证明)。我们的工作更是“马后炮”,是无穷小的啦啦队而已。
言归正传。我国的考研是当前世界规模最大的高级科技人才的选拔性水平考试,而高级人才的”优胜劣汰“选拔手段主要是依靠所谓的”考研数学“(数一、数二与数三试卷)。实际上,《数学考试大纲》的考试内容及要求均涉及函数概念以及函数的微分与积分,比如:函数f的一般概念(与平面曲线相联系),以及函数的微分与积分的符号(概念的载体),微分法的链式法则与乘积法则((uv)'=u'v+uv')和微分与积分符号次序交换定理,等等,都是第一次出自莱布尼兹的手笔(有据可查)。如此看来,我国考研与莱布尼兹的数学成就不无关联,而是关系十分密切。
根据莱布尼兹乘积求导法则:(uv)'=
u'v + uv'(注意:此法则不用极限论可以推得),我们容易证明以下等式成立:
1'=(vx1/v)'=
v'x(1/v) + vx(1/v)',
由此可得公式:(1/v)'=
-v'/V^2
同理可得求函数商的微分公式:
(u/v)'= u'(1/v) + u(1/v)' = (u'v -uv')/v^2
还有,由莱布尼兹乘积求导法则容易推出函数乘幂的求导公式:
(u^m)'= mu^(m-1)u'
特别是,有如下等式:
(u^2)'= 2uu'; (u^3)' = 3u^2u;;......
而且容易证明以下等式:
(sin^2+ cos^2)' = 2sinsin' + 2coscon'' = 2sincos +2cos(-sin)
= 0
由此不难证明著名的三角恒等式:
sin^2+ cos^2 = 1(常数)
我们可以这样说:如果考生彻底搞懂了莱布尼兹乘积求导法则,那么,考生可以避免许多考研数学中的“典型错误”。
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