8月6日,J.Keisler《基础微积分》第3.8节连续函数的性质(袖珍电子书)已经上传互联网,使国内读者开阔了眼界,知道无穷小微积分学的”不同风味“在连续函数研究领域的具体表现。
大家知道,在传统微积分学里面,有一个关于连续函数的”零点定理“,也叫做”介值定理“。这是一条微积分学的基本定理,非常重要,不可轻视。该定理的陈述如下:
INTERMEDIATE VALUE THEOREM
Suppose
the real function f is continuous on the closed interval [a,b] and f(x) is positive at one endpoint and negative at the other endpoint.Then f has a zero in the interval (a,b) ; that is, f(c) = 0 for some real c in (a,b).
这个定理的结论看起来非常显然,似乎无需给出严格的”数学证明“。我们现代文明人不能局限于”直观性“(拍脑袋),把数学当成”魔术“、变戏法,看热闹。根据维基网站:”This
theorem was first proved by
BernardBolzano(波尔查诺)in1817.
Augustin-LouisCauchy(哥西)provided
a proof in 1821“,值得注意的是,哥西使用的证明思路就是无穷小方法。
在我国普通高等教育”十一五“国家级规划教材同济大学《高等数学》的第71页,对此定理的严格证明加以省略,说”在此不予证明“。这是不能允许的,不证明该定理,却拿它当成”基本定理“再去证明别的”定理“,越搞越糊涂。难怪我们周边有不少”小糊涂“(大学毕业生),整天乐呵呵的,傻样子很可爱。
其实证明并不困难,J.Keisler说:
We assume
f(a)
≤
0
≤
f(b).Let
H
be a positive infinite hyperinteger(超整数)and
partition the interval [a,b]*
into H
equal parts
a,a+δ, a+2δ,……,a+Hδ
= b.
Let
a+Kδ be the last partition point at which
f(a+Kδ)
< 0. Thus
f(a+Kδ) < 0
≤
f(a+(K+1)δ).
Since
f is continuous,
f(a+Kδ)
is infinitely close to
f(a+(K+1)δ).
We conclude that f(a+Kδ)≈
0 (Figure3.8.7). We take cto
be the standard part of a+Kδ,
so that
f(c) = st (f (a + Kδ))
= 0.
J.Keisler的数学证明方法是典型的“无穷小证明”,其正确性不高于,也不低于传统微积分学所使用的方法,请见:菲氏《微积分学教程》。
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