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超实数与银河(Galaxy)

 
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300多年前,物理学与天文学(指导远洋航行)的发展适应了人类社会、经济总体发展的需求。由此,微积分学(Calculus)的建立就显得十分“急迫”。微积分学的原本意思就是“无穷小演算”(Infinitesimal Calculus)。这是历史事实,不是某个人的偏好。

自古以来,在数学家的脑壳里面就有一种模模糊糊的“无穷“观念,像一团迷雾不肯散去。到了1655年,英国数学家John Wallis(华莱士)干脆将这种”模糊观念“用记号”∞“写在纸面上,任人去评说。这一步棋非常关键,确实厉害。符号∞“表示一种很大的量,但是其本身又不是某一个特定的数字。比如说,实数系R可以表示为开区间(-∞+),左右两边模模糊糊,究竟是什么也不好说。谁也不会跑到数轴的尽头去察看一下,这个符号∞“为什么在那里总是躺着睡大觉,一觉就睡了300多年。

现在,国内每年都有数百万在校大学生被教导说:”当x趋于无穷大∞“时,如何,如何,......”。认识就此打住了,再也深入不下去。John Wallis的符号∞“,如同“魔咒”一般,至今仍然缠绕着每年上百万的考研学子们。1976年,J.Keisler在《无穷小微积分基础》教学参考书中指出一个很明显的事实:在超实数系*R里面存在一种新的“等价关系”:如果超实数xy相差为“有限”(finite)即可归于一等价类。事实上,这种”相差为有限“的关系具有自反性,对称性与传递性,因此,可以构成一种“分类”法则。

这种“分类”方法把∞“的魔咒彻底打破了。J.Keisler给它其了一个很有意思的名字“银河”(Galaxy),一种庞大无比的“团状物”,∞“被分解成无数的”银河“,有序地排列在数轴的“两侧”。银河与银河之间,相距无限地“遥远”。我们所在的这个银河系叫”主银河“(Principal Galaxy)。

据此分类规则,超实数系*R应该表示为:

*R =...Galaxy,... Principal Galaxy,......Galaxy,...

我们人类日常的活动范围是位于数轴中央部位的这个”主银河“。这种搞法是不是把简单问题越搞越复杂了呢?非也。比如,你需要对学生表达意思:“当x无限趋于∞“时,如何如何......”时,你只要让他们把无穷大H(具体的一个超实数)直接代入字母x就可以了。用这种方法寻求无穷序列的极限以及无穷级数的”和“是完全可行的。如此以来,不就把复杂问题在实质上搞简单化了吗?此法真妙也!

实际上,超实数系*R是一个“有序域”(Ordered Field),等价类“单子”与“银河”是少不了的,不是什么人的发明,只能算是发现了它们的实际存在而已。有人会说,特别是女孩子,我不要看(这些东西)!这又不是小孩子在耍脾气。这是数学历史前进的脚步声。



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