超实数与单子（Monad）

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在上世纪中叶，以哥德尔为首的数理逻辑先锋派，高举数学公理化的旗帜，为无穷小恢复了名誉。1976年，J. Keisler在A.Robinson的非标准分析基础上，做了进一步的具体细化与完善，出版了《基础微积分》（无穷小方法）教材。

很明显的事实是，引进无穷小就必须扩大原有的实数系R，使其成为”超实数“有序域*R。这就带来了一些新的问题。在*R中，如果两个超实数x，y相差一个无穷小，就说它们无限地接近，记为x≈y。显然，关系”≈“具有自反性、对称性与传递性，因而，关系“≈”是一个*R上的等价关系。在”≈“等价关系的作用下，超实数系*R成为一种”団状物“的大聚合。在数学界老前辈Leibniz”单子论”的感召下，现在的人们称这种”団状物“为“单子”（Monad）并且记为：

Monad(x)= {y∈*R┃y≈x}

在这种超实数“团状物”里面，有无数的相互无限接近超实数，但是，其中有没有原有的实数呢？假定有，那么，单子里面也只能容纳一个实数，因为，两个不同的实数不可能无限地接近，使其同存于一个单子之中。那么，单子里面到底有没有原有的实数呢？研究结果表明：在原有实数系R上的单子里面都有一个实数，正巧是“一对一”。其根源就是，因原有实数系统R是一个完备的有序域（OrderedField）。在单子里面，超实数继承了原有实数系的某些基本特性。

在一个超实数“单子”里面，许许多多的超实数团聚在一个原有实数r的周围，以其为它们的共同“凝聚中心”。人们称这个“凝聚中心”r为该单子里面超实数的“标准部分”（standardpart），并且引入记号：st(x)=r。由此可见，“st”是链接超实数*R与实数R的一个”桥梁“。

Let x and y be finite,then:

1）x≈ y if and only if st(x) = st(y).

2）x≈ st(x).

3）If r ∈ R then st(r) = r.

4）If x ≤ y then st(x) ≤ st(y).

这4条基本性质并不是很显然的，都存在严格的证明。函数st的性质还有很多，在此，我们暂且不提。

进入本世纪初，超实连续统（HyperContinuum）得到迅速发展及应用，单子结构显示出巨大的潜力。我们不能掉以轻心。实际上，斜率、速度、导数、微分与积分这些基础概念都是借助函数”st“来定义的。