[算法系列之九]Karatsuba快速相乘算法

【概述】

Karatsuba乘法是一种快速乘法。此算法在1960年由Anatolii Alexeevitch Karatsuba 提出，并于1962年得以发表。

此算法主要用于两个大数相乘。普通乘法的复杂度是n2，而Karatsuba算法的复杂度仅为3nlog3≈3n1.585（log3是以2为底的）

【步骤】

Karatsuba算法主要应用于两个大数的相乘，原理是将大数分成两段后变成较小的数位，然后做3次乘法，并附带少量的加法操作和移位操作。

现有两个大数，x，y。

首先将x，y分别拆开成为两部分，可得x1，x0，y1，y0。他们的关系如下：

x = x1 * 10m + x0；

y = y1 * 10m + y0。其中m为正整数，m < n，且x0，y0 小于 10m。

那么

xy = (x1 * 10m + x0)(y1 * 10m + y0)

=z2 * 102m + z1 * 10m + z0，其中：

z2 = x1 * y1；

z1 = x1 * y0 + x0 * y1；

z0 = x0 * y0。

此步骤共需4次乘法，但是由Karatsuba改进以后仅需要3次乘法。因为：

z1 = x1 * y0+ x0 * y1

z1 = (x1 + x0) * (y1 + y0) - x1 * y1 - x0 * y0，

故x0 * y0 便可以由加减法得到。

所以：

x*y = z2 * 102m+ z1 * 10m + z0

z2 = x1 * y1

z1 = (x1 + x0) * (y1 + y0) - x1 * y1 - x0 * y0 =(x1 + x0) * (y1 + y0) - x1 * y1 - z0

z0 = x0 * y0

Recursively computer (x1*y1)

Recursively computer (x1 + x0) * (y1 + y0)

Recursively computer (x0 * y0)

【实例讲解】

设x = 12345，y=6789，令m=3。那么有：

12345 = 12 * 1000 + 345；

6789 = 6 * 1000 + 789。

下面计算：

z2 = 12 * 6 = 72；

z0 = 345 * 789 = 272205；

z1 = (12 + 345) * (6 + 789) - z2 - z0 = 11538。

然后我们按照移位公式（xy = z2 * 102m + z1 * 10m+ z0）可得：

xy = 72 * 10002 + 11538 * 1000 + 272205 = 83810205。

【伪代码】

procedure karatsuba(num1, num2)
  if (num1 < 10) or (num2 < 10)
    return num1*num2
  /* calculates the size of the numbers */
  m = max(size_base10(num1), size_base10(num2))
  m2 = m/2
  /* split the digit sequences about the middle */
  x1, x0 = split_at(num1, m2)
  y1, y0 = split_at(num2, m2)
  /* 3 calls made to numbers approximately half the size */
  z0 = karatsuba(x0,y0)
  z1 = karatsuba((x1+x0),(y1+y0))
  z2 = karatsuba(x1,y1)
  return (z2*10^(2*m2))+((z1-z2-z0)*10^(m2))+(z0)

【代码】

/*********************************
*   日期：2015-01-29
*   作者：SJF0115
*   题目: Karatsuba快速相乘算法
*   博客：
**********************************/
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;

// given two unequal sized bit strings, converts them to
// same length by adding leading 0s in the smaller string. Returns the
// the new length
int MakeSameLen(string& num1,string& num2){
    int len1 = num1.length();
    int len2 = num2.length();
    if(len1 < len2){
        for(int i = 0;i < len2 - len1;++i){
            num1 = "0" + num1;
        }//for
        return len2;
    }//if
    else{
        for(int i = 0;i < len1 - len2;++i){
            num2 = "0" + num2;
        }//for
        return len1;
    }//else
}
// big number minus function
string MinusString(string num1, string num2) {
    int len1 = num1.length();
    int len2 = num2.length();
    // 相等
    if(num1 == num2){
        return "0";
    }//if
    // 正负
    bool positive = true;
    if(len1 < len2 || (len1 == len2 && num1 < num2)){
        positive = false;
        // 交换使之num1 > num2
        string tmp = num1;
        num1 = num2;
        num2 = tmp;
        int temp = len1;
        len1 = len2;
        len2 = temp;
    }//if
    string result;
    int i = len1 - 1,j = len2 - 1;
    int a,b,sum,carray = 0;
    // 从低位到高位对位做减法
    while(i >= 0 || j >= 0){
        a = i >= 0 ? num1[i] - '0' : 0;
        b = j >= 0 ? num2[j] - '0' : 0;
        sum = a - b + carray;
        carray = 0;
        // 不够减
        if(sum < 0){
            sum += 10;
            carray = -1;
        }//if
        result.insert(result.begin(),sum + '0');
        --i;
        --j;
    }//while
    // 删除前导0
    string::iterator it = result.begin();
    while(it != result.end() && *it == '0'){
        ++it;
    }//while
    result.erase(result.begin(),it);
    return positive ? result : "-"+result;
}
// big number add function
string AddString(string num1,string num2){
    int len1 = num1.length();
    int len2 = num2.length();
    // 容错处理
    if(len1 <= 0){
        return num2;
    }//if
    if(len2 <= 0){
        return num1;
    }
    string result;
    int i = len1-1,j = len2-1;
    int a,b,sum,carry = 0;
    // 倒序相加
    while(i >= 0 || j >= 0 || carry > 0){
        a = i >= 0 ? num1[i] - '0' : 0;
        b = j >= 0 ? num2[j] - '0' : 0;
        // 按位相加并加上进位
        sum = a + b + carry;
        // 进位
        carry = sum / 10;
        result.insert(result.begin(),sum % 10 + '0');
        --i;
        --j;
    }//while
    return result;
}
// 移位
string ShiftString(string num,int len){
    if(num == "0"){
        return num;
    }//if
    for(int i = 0;i < len;++i){
        num += "0";
    }//for
    return num;
}
// Karatsuba快速相乘算法
string KaratsubaMultiply(string num1, string num2) {
    int len = MakeSameLen(num1,num2);
    if(len == 0){
        return 0;
    }//if
    // all digit are one
    if(len == 1){
        return to_string((num1[0] - '0')*(num2[0] - '0'));
    }//if
    int mid = len / 2;
    // Find the first half and second half of first string.
    string x1 = num1.substr(0,mid);
    string x0 = num1.substr(mid,len - mid);
    // Find the first half and second half of second string
    string y1 = num2.substr(0,mid);
    string y0 = num2.substr(mid,len - mid);
    // Recursively computer
    string z0 = KaratsubaMultiply(x0,y0);
    string z1 = KaratsubaMultiply(AddString(x1,x0),AddString(y1,y0));
    string z2 = KaratsubaMultiply(x1,y1);
    // (z2*10^(2*m))+((z1-z2-z0)*10^(m))+(z0)
    // z2*10^(2*m)
    string r1 = ShiftString(z2,2*(len - mid));
    // (z1-z2-z0)*10^(m)
    string r2 = ShiftString(MinusString(MinusString(z1,z2),z0),len - mid);
    return  AddString(AddString(r1,r2),z0);
}


int main(){
    string num1("12345001");
    string num2("1006789");
    string result = KaratsubaMultiply(num1,num2);
    // 输出
    cout<<result<<endl;
    return 0;
}