在数据库中,有些数据是异常值或者空值,这些值在分析的时候应该特殊处理,比如最简单的忽略掉或者通过算法推测它的值。其中拉格朗日插值就是通过其他已经知道的值,对x位置缺失的值插入的算法。
假定我们已经知道了(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 四个数据点,如果有多项式L(x)刚好穿过这4个点,这样的公式可写成:
当x=x0时候,L(x0)= y0*1 + y1*0 + y2*0 + y3*0 = y0
当x=x1时候,L(x1)= y0*0 + y1*1 + y2*0 + y3*0 = y1
...
故,L(x)刚好穿过(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 四个点。
只要求到函数l0,l1,l2, l3,就可以得到L(x), 求剩余点的值。
对于函数l0,它要满足两个两个条件:
1)当x!= x0时候,l0(x0) = 0。即x 为x1,x2,x3时候 l0(x0) = 0, 下面这个多项式即可满足该条件:
(x-x1)(x-x2)(x-x3)
2)当x=x0时, l0(x0) = 1. 可以看出在上面的多项式(x-x1)(x-x2)(x-x3)中,代入x=x0,得到一个数字k = (x0-x1)(x0-x2)(x0-x3),为了让多项式(x-x1)(x-x2)(x-x3)也满足x=x1时,它的值为1,那么该多项式除以数字k即可。
这样最终得到
l0(x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3) / (x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)
同理得到:
l1(x) = (x-x0)(x-x2)(x-x3) / (x1-x0)(x0-x2)(x0-x3)
l2(x) = (x-x0)(x-x1)(x-x3) / (x2-x0)(x2-x1)(x0-x3)
l3(x) = (x-x0)(x-x1)(x-x2) / (x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)
得到了l1(x),l2(x),l3(x),代入L(x)中,最终得到了刚好穿过(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)四个点的一个多项式。
现在可以对x=x4, x=x5...求他们的y值了。
下面是python的一个例子。我先生成给出了10个点,y=x*x, x = {-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10},
通过这十个点,得到一个刚好穿过这10个点的拉格朗日函数,最后通过该函数,补全了x = {-9, -7, -5...7, 9}上的值。
左边是补全之前,右边是补全了数据之后:
import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt from scipy.interpolate import lagrange axis_x = [i for i in range(-10, 10, 2)] axis_y = [i ** 2 for i in axis_x] data = pd.Series(axis_y, index=axis_x) plt.figure("lagrange demo") ax1 = plt.subplot(121) plt.sca(ax1) plt.plot(axis_x, axis_y, linestyle=' ', marker='o', color='b') plt.plot(axis_x, axis_y, linestyle='--', color='r') ##generate lagrange function lag = lagrange(axis_x, axis_y) new_x = [i for i in range(-10, 10, 1)] new_y = [] for x in new_x: if x in data.index: new_y.append(data[x]) else: new_y.append(lag(x)) ax2 = plt.subplot(122) plt.sca(ax2) plt.plot(new_x, new_y, linestyle=' ', marker='o', color='b') plt.plot(new_x, new_y, linestyle='--', color='r') plt.show()
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