USACO Training Section 3.4 Electric Fence

英文原题 

大意：给定一个三角形(0,0),(m,n),(p,0)求三角形内部的整数格点的数量。

可以用皮克定理求解：给定任意简单多边形，其面积A和内部格点数目i、边上格点数目b的关系：A = i + b/2 - 1。 而线段<(0,0),(n,m)>上的格点数(包含端点）等于n与m的最大公约数+1，从而对多边形而言，边上的格点数总和为边向量的xy分量最大公约数之和（去掉重复计数）。多边形面积为点积和。从而得解。

这里的实现包含了对一般简单多边形的处理。

对这个题而言，还可以参考图形学中的划线算法，对每行得到内部格点的最大最小值，求和得到解。

有意思的是，中文题译与英文原题完全不同，同一个题目名字，内容不同，是较早的电网版本，比这个题要困难一些，摘录如下：

农夫约翰已经决定建造电网。他已经把他的农田围成一些奇怪的形状，现在必须找出安放电源的最佳位置。

对于段电网都必须从电源拉出一条电线。电线可以穿过其他电网或者跨过其他电线。电线能够以任意角度铺设，从电源连接到一段电网的任意一点上（也就是，这段电网的端点上或者在其之间的任意一点上）。这里所说的“一段电网”指的是呈一条线段状的电网，并不是连在一起的几段电网。若几段电网连在一起，那么也要分别给这些电网提供电力。

已知所有的 F（1 <= F <= 150）段电网的位置（电网总是和坐标轴平行，并且端点的坐标总是整数，0 <= X,Y <= 100）。你的程序要计算连接电源和每段电网所需的电线的最小总长度，还有电源的最佳坐标。

电源的最佳坐标可能在农夫约翰的农田中的任何一个位置，并不一是整数。

这是个平面极值问题，如果用解析方法求解，电网的xy坐标将目标区域划分成的网格，网格中每个区域的方程是不同的，需在每个区域内求得极值并最终得到解。不过从编程角度看，用四分法求解就足够了。

/*
ID: blackco3
TASK: fence9
LANG: C++
*/
#include <iostream> 
using namespace std;
const int _n_pt_(3) ;
struct t_point { 
	int x, y ; 
	t_point(int a=0, int b=0):x(a),y(b){};
} ; 
inline int iabs(int v) { 
	return v<0 ? -v : v ; 
} 
inline int cross(t_point const &a, t_point const &b){ 
    return a.x*b.y - a.y*b.x; 
} 
inline int gcd(int a, int b) { 
	while(a && b) 
		a %= b , b = a ? b%a : b ;  
	return a + b ;
} 
inline int grids_on_line(t_point const &a, t_point const &b)  { 
    return gcd( iabs(a.x-b.x), iabs(a.y-b.y) ) ; 
} 

int poly_area(t_point *poly, int n_size) { 
    int area=0 ; 
    for(int i=0; i<n_size; i++) { 
		area += cross( poly[i], poly[i+1] ); 
    } 
	return iabs(area)/2; 
} 

int Pick_grid(t_point *poly, int n_size ) { 
	int sum_bound=0 ;
	for(int i=0; i<n_size; i++ )  
        sum_bound += grids_on_line(poly[i], poly[i+1]); 
    return poly_area(poly, n_size) - (sum_bound>>1) + 1; 
} 

int main() {
    freopen("fence9.in", "r", stdin); 
    freopen("fence9.out","w",stdout); 
    t_point poly[_n_pt_+1] ; 	
    cin >> poly[1].x >> poly[1].y >> poly[2].x; 
    cout << Pick_grid(poly, _n_pt_) << endl; 
    return 0; 
}