动态规划——最大子矩阵和 收藏

最大子矩阵问题：
问题描述：(具体见http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1050 )
给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵，请找到此矩阵的一个子矩阵，并且此子矩阵的各个元素的和最大，输出这个最大的值。
Example：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其中左上角的子矩阵：
9 2
-4 1
-1 8
此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。
我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵，然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2)，显然此方法不可行。
怎么使得问题的复杂度降低呢？对了，相信大家应该知道了，用动态规划。对于此题，怎么使用动态规划呢？

让我们先来看另外的一个问题(最大子段和问题)：
给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中i>=0,i<n,j>=i,j<n，例如
31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84
子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。
第一种方法－直接穷举法:
maxsofar=0;
for i = 0 to n
{
for j = i to n
{
sum=0;
for k=i to j
sum+=a[k]
if (maxsofar>sum)
maxsofar=sum;
}
}

第二种方法－带记忆的递推法：
cumarr[0]=a[0]
for i=1 to n //首先生成一些部分和
{
cumarr[i]=cumarr[i-1]+a[i];
}

maxsofar=0
for i=0 to n
{
for j=i to n //下面通过已有的和递推
{
sum=cumarr[j]-cumarr[i-1]
if(sum>maxsofar)
maxsofar=sum
}
}
显然第二种方法比第一种方法有所改进，时间复杂度为O(n*n)。

下面我们来分析一下最大子段和的子结构，令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和，b[j]的当前值只有两种情况，(1) 最大子段一直连续到a[j] (2) 以a[j]为起点的子段，不知有没有读者注意到还有一种情况，那就是最大字段没有包含a[j]，如果没有包含a[j]的话，那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了，注意我们只是算到位置为j的地方，所以最大子断在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。
由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},
所求的最大子断和为max{b[j],0<=j<n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。
得出的算法如下：
int maxSubArray(int n,int a[])
{
int b=0,sum=-10000000;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(b>0) b+=a[i];
else b=a[i];
if(b>sum) sum=b;
}
return sum;
}
这就是第三种方法－动态规划。

现在回到我们的最初的最大子矩阵的问题,这个问题与上面所提到的最大子断有什么联系呢？
假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：
| a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
| a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ar1 …… ari ……arj ……arn |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
| . . . . . . . |
| an1 …… ani ……anj ……ann |

那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：
(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子断和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。

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1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 int ** a;
5 int **sum;
6 int max_array(int *a,int n)
7 {
8 int *c = new int [n];
9 int i =0;
10 c[0] = a[0];
11 for(i=1;i<n;i++)
12 {
13 if(c[i-1]<0)
14 c[i] = a[i];
15 else
16 c[i] = c[i-1]+a[i];
17 }
18 int max_sum = -65536;
19 for(i=0;i<n;i++)
20 if(c[i]>max_sum)
21 max_sum = c[i];
22 delete []c;
23 return max_sum;
24
25 }
26 int max_matrix(int n)
27 {
28 int i =0;
29 int j = 0;
30 int max_sum = -65535;
31 int * b = new int [n];
32
33 for(i=0;i<n;i++)
34 {
35 for(j=0;j<n;j++)
36 b[j]= 0;
37 for(j=i;j<n;j++)//把数组从第i行到第j行相加起来保存在b中，在加时，自底向上，首先计算行间隔(j-i)等于1的情况，然后计算j-i等于
2的情况，一次类推,在小间隔的基础上一次累加，避免重复计算
38 {
39 for(int k =0;k<=n;k++)
40 b[k] += a[j][k];
41 int sum = max_array(b,n);
42 if(sum > max_sum)
3 max_sum = sum;
44 }
45 }
46 delete []b;
47 return max_sum;
48 }
49 int main()
50 {
51 int n;
52 cin >> n;
53
54 a = new int *[n];
55 sum = new int *[n];
56 int i =0;
57 int j =0;
58 for(i=0;i<n;i++)
59 {
60 sum[i] = new int[n];
61 a[i] = new int[n];
62 for(j=0;j<n;j++)
63 {
64 cin>>a[i][j];
65 sum[i][j] =0 ;//sum[r][k]表示起始和结尾横坐标分别为r,k时的最大子矩阵
66 //sum[r][k] = max{sum (a[i][j]):r<=i<=k}:0<=k<=n-1
67 }
68 }
69 /*
70 int b[10]={31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84};
71 cout << max_array(b,10) << endl;
72 */
73 cout << max_matrix(n);
74 }

本文来自CSDN博客，转载请标明出处：http://blog.csdn.net/clearriver/archive/2009/08/16/4451493.aspx