旋转数组的最小元素

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题目：把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个排好序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如数组{3, 4, 5, 1, 2}为{1, 2, 3, 4, 5}的一个旋转，该数组的最小值为1。

         分析：这道题最直观的解法并不难。从头到尾遍历数组一次，就能找出最小的元素，时间复杂度显然是O(N)。但这个思路没有利用输入数组的特性，我们应该能找到更好的解法。

         我们注意到旋转之后的数组实际上可以划分为两个排序的子数组，而且前面的子数组的元素都大于或者等于后面子数组的元素。我们还可以注意到最小的元素刚好是这两个子数组的分界线。我们试着用二元查找法的思路在寻找这个最小的元素。

         首先我们用两个指针，分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。按照题目旋转的规则，第一个元素应该是大于或者等于最后一个元素的（这其实不完全对，还有特例。后面再讨论特例）。

接着我们得到处在数组中间的元素。如果该中间元素位于前面的递增子数组，那么它应该大于或者等于第一个指针指向的元素。此时数组中最小的元素应该位于该中间元素的后面。我们可以把第一指针指向该中间元素，这样可以缩小寻找的范围。同样，如果中间元素位于后面的递增子数组，那么它应该小于或者等于第二个指针指向的元素。此时该数组中最小的元素应该位于该中间元素的前面。我们可以把第二个指针指向该中间元素，这样同样可以缩小寻找的范围。我们接着再用更新之后的两个指针，去得到和比较新的中间元素，循环下去。

按照上述的思路，我们的第一个指针总是指向前面递增数组的元素，而第二个指针总是指向后面递增数组的元素。最后第一个指针将指向前面子数组的最后一个元素，而第二个指针会指向后面子数组的第一个元素。也就是它们最终会指向两个相邻的元素，而第二个指针指向的刚好是最小的元素。这就是循环结束的条件。

基于这个思路，我们可以写出如下代码：

// Get the minimum number of a roatation of a sorted array

int Min(int *numbers, int length)

{

    if(numbers == 0 || length <= 0)

        throw new std::exception("Invalid parameters");

 

    int index1 = 0;

    int index2 = length - 1;

    int indexMid = index1;

    while(numbers[index1] >= numbers[index2])

    {

        if(index2 - index1 == 1)

        {

            indexMid = index2;

            break;

        }

 

        indexMid = (index1 + index2) / 2;

        if(numbers[indexMid] >= numbers[index1])

            index1 = indexMid;

        else if(numbers[indexMid] <= numbers[index2])

            index2 = indexMid;

    }

 

    return numbers[indexMid];

}

由于我们每次都把寻找的范围缩小一半，该算法的时间复杂度是O(logN)

值得注意的是，如果在面试现场写代码，通常我们需要用一些测试用例来验证代码是不是正确的，我们在验证的时候尽量能考虑全面些。像这道题，我们出来最简单测试用例之外，我们至少还需要考虑如下的情况：

1.              把数组前面的0个元素从最前面搬到最后面，也就是原数组不做改动，根据题目的规则这也是一个旋转，此时数组的第一个元素是大于小于或者等于最后一个元素的；

2.              排好序的数组中有可能有相等的元素，我们特别需要注意两种情况。一是旋转之后的数组中，第一个元素和最后一个元素是相等的；另外一种情况是最小的元素在数组中重复出现

3.              在前面的代码中，如果输入的数组不是一个排序数组的旋转，那将陷入死循环。因此我们需要跟面试官讨论是不是需要判断数组的有效性。在面试的时候，面试官讨论如何验证输入的有效性，能显示我们思维的严密性。本文假设在调用函数Min之前，已经验证过输入的有效性了。

最后需要指出的是，如果输入的数组指针是非法指针，我们是用异常来做错误处理。这是因为在这种情况下，如果我们用return来结束该函数，返回任何数字都不是正确的。关于无效输入时的函数如何返回错误信息并结束，本博客第17题有更详细的讨论，可以参考。