开关和灯泡的对应关系

在房里有三盏灯，房外有三个开关，在房外看不见房内的情况，你只能进门一次，你用什么方法来区分哪个开关控制哪一盏灯？

答案：
设三个开关是1、2、3。打开开关1等半个小时，关上开关1并打开开关2。
进房后去摸灯泡，热的是开关1对应的灯泡；亮的是开关2对应的灯泡；不亮不热的是开关3对应的灯泡。

分析：
首先想到的就是通过打开不同的开关，进去后看灯是否亮来找出对应关系。可能打开的开关数量只有0，1，2，3共四种情况，没有一种情况能解决这个问题。所以必须找到其它的信号。鉴于灯泡亮一段时间后会发热，我们可以使用灯的热度作为一个信号。这样我们就有了热且亮，热不亮，亮不热，不热不亮四种状态，足以用来区分三只灯泡了。

这个题可以理解成一个编码问题，灯泡的状态作为编码空间，进屋的次数作为编码位数。

如果只使用灯泡是否亮来判断，题目就相当于用一位二进制数来表示三种状态，是不可能的事情。加入了灯泡是否热后，就相当于用一位四进制数来表示三种状态，足够了。

此题的一些可能变化：
1、在房里有四盏灯，房外有四个开关，在房外看不见房内的情况，你只能进门一次，你用什么方法来区分哪个开关控制哪一盏灯？
2、在房里有n盏灯，房外有n个开关，在房外看不见房内，且进门后只能观察灯的亮度的情况下，你需要进门多少次才能区分哪个开关控制哪一盏灯？
3、在房里有n盏灯，房外有n个开关，每个开关有三种状态（开，关，半开（亮度为开的一半））在房外看不见房内，且进门后只能观察等的亮度的情况下，你需要进门多少次才能区分哪个开关控制哪一盏灯？

其他题目：

现有共2007只灯均亮，每个灯都只有一个开关，第一次按2倍数的灯开关，第二次按3倍数的灯，第三次按5倍数的灯，最后亮灯有几只？

思路：这个题目跟集合的并集是有关系的，首先这么思考，一个灯的开关操作偶数次跟没有操作是一样的效果，操作一次跟操作奇数次是一样的效果。则2的倍数与3的倍数交集中减去2、3、5的倍数共同交集剩下的集合操作了偶数次，跟没有操作是一样的，所以这些灯还是亮着的，而2、3、5倍数的并集的补集中的这些灯一直没有操作，状态是没有变化的，一直都是亮着的。。

所以：2007中2的倍数有1003个

2007中3的倍数有669个

2007中5的倍数有401个

2007中6的倍数有334个

2007中10的倍数有200个

2007中15的倍数有133个

2007中30的倍数有66个

2、3、5倍数的并集的补集为2007-（1003+669+401-334-200-133+66）=535 这些灯一直没有操作，状态是没有变化的，一直都是亮着的。。

2的倍数与3的倍数交集中减去2、3、5的倍数共同交集剩下的集合操作了偶数次，跟没有操作是一样的，这些灯共有268盏。。

同理另外134盏和67盏灯都是操作了偶数次，跟没有操作是一样的，也是亮着的。。

所以：最后的亮灯共有535+268+134+67=1004

验证程序如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void main()
{
	int a[2008],i,sum=0;
	for(i=1;i<2008;i++)
		a[i]=1;
	for(i=1;i<2008;i++)
	{
		if(i%2==0)
			a[i]=1-a[i];
	}
	for(i=1;i<2008;i++)
	{
		if(i%3==0)
			a[i]=1-a[i];
	}
	for(i=1;i<2008;i++)
	{
		if(i%5==0)
			a[i]=1-a[i];
	}
	for(i=1;i<2008;i++)
	{
		if(a[i]==1)      //统计亮灯的个数
			sum++;
	}
	printf("%d\n",sum);
	system("pause");
}

扩展题：

有1到100号的灯，一开始全部点亮。每盏灯都有独立的开关，且开关只有“开”和“关”两种状态。
第一次把所有1的倍数灯的开关按一次，第二次把所有2的倍数灯的开关按一下，一直到第一百次把所有100的倍数灯的开关按一下。
问，此时还有多少灯亮着？

因为开始时全部亮着，只有开关按偶数次的才会亮着。
实际上是问1,2,3,...,100这100个每个数的约数的个数。除了平方数，1，4，9,16,...,100(共10个外），其它所有数的约数的个数都是偶数个。因而最后亮灯的有100-10=90个。

（所有的平方数，其约数的个数都是奇数个，比如4^2=16, 当约数是4时，无法找到另外一个不同的约数与之配对)。