小球称重问题求解

题目论述：12个长相一样的球中仅有1个球与其他球质量不同，且不确定是重还是轻。请用天枰进行不超过三次的称重，检测出是哪个球与众不同，并且要得出是重还是轻的结论。

 

为叙述方做如下定义。

定义1：与众不同的球为X球，11个相同的球为O球，若与众不同的球比其他11个球重，则为重球，否则为轻球。

定义2：称重中若球A比B重，则A>B；若天枰平衡则A=B；表达式中的A，B,C。。。等编号直接代表编号为A，B，C球的质量。

 

称重的方法流程如下：

 

STEP1：任意取出8个球分成两组称重，将球进行编号A+B+C+D vs E+F+G+H。

       如果天枰平衡，说明X球在未称重的4个球中，进行STEP2，否则进行STEP3。

 

STEP2：由STEP1得出称重的8个球为O球，另四个球编号A,B,C,D。取出一个O球组成如下图组合称重 O+A vs B+C      

       Case1：O+A=B+C,说明D球为X球，取出任意O球进行第三次称重 O vs D，若O>D则D为轻球，反之为重球。

       Case2：O+A>B+C，进行第三次称重 B vs C：

 如果B>C ：则在B,C中存在轻球，且B为O球，C为轻球。

 如果B<C ：则在B,C中存在轻球，且B为轻球，C为O球。

 如果B=C ：则A为X球，又因O+A>B+C，则A为重球。

       Case3:  O+A<B+C，进行第三次称重B vs C：

              如果B>C：则在B,C中存在重球，且B为重球，C为O球。

              如果B<C：则在B,C中存在重球，且B为O球，C为重球。

              如果B=C：则A为X球，又因O+A<B+C，则A为轻球。

 

STEP3：由STEP1得到8个未定球中有一个特别球，不妨设天枰形态为A+B+C+D>E+F+G+H ①

进行第二次测量O+A+E  vs  B+F+G ，即在第一次测量的基础上交换B和E，用任一

O球置换C球，天枰两侧各去掉一个D和H。

       Case1：O+A+E = B+F+G，说明在①式中A,B,E,F,G均为O球，①式化简为C+D>O+H。

              进行第三次测量称重C vs D，此情形同STEP2中case3.

              如果C>D：则在C，D中存在重球，且C为重球，D为O球；

              如果C<D：则在C，D中存在重球，且C为O球，D为重球；

              如果C=D：则H为X球，又因C+D>O+H，则H为轻球。

       Case2：O+A+E > B+F+G②,说明STEP3中去掉的C，D，H为O球，且交换过程中无影

响的B和E也为O球，此时②化简为O+A>F+G，第三次称重F vs G。

如果F>G：则在F，G中存在轻球，且F为O球，G为轻球；

如果F<G：则在F，G中存在轻球，且F为轻球，G为O球；

如果F=G：则A为X球，且A为重球。

       Case3：O+A+E < B+F+G，说明交换的B和E中有一个是X球，且B>E。此时用任一O球同B和E中任一一球称重，不妨 O vs B。

              如果O=B，则E为轻球。

              如果O<B，则B为重球。

              不会出现O>B的情况，反之若O>B，则B为轻球，E为O球，矛盾！

 

在称重过程得出两个有用的结论。

结论一：称重中经常会出现一个特定的情形：4个球中有一个是O球，其他3个未知球中有一

个是X球，将四个球任意分成两组，不妨设O+A vs C+D，此时将得到天枰的一个状态，然后

再 次称重 C和D便可得出三个未知球中的所有信息。

结论二：8个球在已知天枰形态的情况下再经过两次称重可以得到所有信息；4个球分成两组

在未知天枰形态下经过2次称重可得到所有球的信息。而所有的情况都可以化为最简单的结论

一的情形。

 

一般情形下的再说吧，太难了。