右边也是一个B树,但它的搜索性能已经是线性的了;同样的关键字集合有可能导致不同的
树结构索引;所以,使用
B树还要考虑尽可能让
B树保持左图的结构,和避免右图的结构,也就
是所谓的“平衡”问题;
实际使用的
B树都是在原
B树的
基础上加上平衡算法,即“平衡二叉树”;如何保持
B树
结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键;平衡算法
是一种在
B树中插入和删除结点的
策略;
B-树
是一种多路搜索树(并不是二叉的):
1.
定义任意非叶子结点最多只有
M个儿子;且
M>2;
2.
根结点的儿子数为
[2,
M];
3.
除根结点以外的非叶子结点的儿子数
为
[M/2, M];
4.
每个结点存放至少
M/2-1(取上整)和至多
M-1个关键字;(至少
2个关键字)
5.
非叶子结点的关键字个数
=指向儿子的指针个数
-1;
6.
非叶子结点的关键字:
K[1],
K[2], …, K[M-1];且
K[i] < K[i+1];
7.
非叶子结点的指针:
P[1],
P[2], …, P[M];其中
P[1]指向关键字小于
K[1]的
子树,
P[M]指向关键字大于
K[M-1]的子树,其它
P[i]指向关键字属于
(K[i-1],
K[i])的子树;
8.
所有叶子结点位于同一层;
如:(
M=3)
B-树的搜索,从根结点开
始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果
命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;
重复,直到所对应的儿子指针为
空,或已经是叶子结点;
B-树的特性:
1.
关键字集合分布在整颗树中;
2.
任何一个关键字出现且只出现在一个
结点中;
3.
搜索有可能在非叶子结点结束;
4.
其搜索性能等价于在关键字全集内做
一次二分查找;
5.
自动层次控制;
由于限制了除根结点以外的非叶子结点,
至少含有
M/2个儿子,确保了结点的至少
利用率,其最底搜索性能为:
其中,
M为设定的非叶子结点最多子树个数,
N为关键字总数;
所以
B-树的性能总是等价于二分查找(与
M值无关),也就没有
B树
平衡的问题;
由于
M/2的限制,在插入结点时,如果结点已满,需要将结点分裂为两个各占
M/2的结点;删除结点时,需将两个不足
M/2的兄弟结点合并;
B+树
B+
树是
B-树的变体,也是一种多路搜索树:
1.
其定义基本与
B-树同,除了:
2.
非叶子结点的子树指针与关键字个数
相同;
3.
非叶子结点的子树指针
P[i],指向关键字值属于
[K[i], K[i+1])的子树
(
B-树是开区间);
5.
为所有叶子结点增加一个链指针;
6.
所有关键字都在叶子结点出现;
如:(
M=3)
B+的搜索与
B-树也基本相同,区别是
B+树只有达到叶子结点才命中(
B-树可以在
非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;
B+
的特性:
1.
所有关键字都出现在叶子结点的链表
中(稠密索引),且链表中的关键字恰好
是有序的;
2.
不可能在非叶子结点命中;
3.
非叶子结点相当于是叶子结点的索引
(稀疏索引),叶子结点相当于是存储
(关键字)数据的数据层;
4.
更适合文件索引系统;
B*树
是
B+树的变体,在
B+树
的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针;
B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为
(2/3)*M,即块的最
低使用率为
2/3
(代替
B+树的
1/2);
B+
树的分裂:当一个结点满时,分配一
个新的结点,并将原结点中
1/2的数据
复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针;
B+树的分裂只影响原结点和父
结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针;
B*
树的分裂:当一个结点满时,如果它
的下一个兄弟结点未满,那么将一部分
数据移到兄弟结点中,再在原结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字
(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟也满了,则在原结点与兄弟结点之
间增加新结点,并各复制
1/3的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针;
所以,
B*树分配新结点的概率比
B+树要低,空间使用率更高;
小结
B
树:二叉树,每个结点只存储一个关键
字,等于则命中,小于走左结点,大于
走右结点;
B-
树:多路搜索树,每个结点存储
M/2到
M个关键字,非
叶子结点存储指向关键
字范围的子结点;
所有关键字在整颗树中出现,且只出现一
次,非叶子结点可以命中;
B+
树:在
B-树基础上,为叶子结点增加链表指针,所有关键字都在叶子结点
中出现,非叶子结点作为叶子结点的索引;
B+树总是到叶子结点才命中;
B*
树:在
B+树基础上,为非叶子结点也增加链表指针,将结点的最低利用率
从
1/2提高到
2/3;
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