Apriori是由Rakesh Agrawal和Ramakrishnan Srikant两位博士在1994年提出的关联规则挖掘算法。
本文着重于Apriori的基础过程：如何生成频繁集。而有关Apriori优化、改良的版本或其他内容，后面再另开文章介绍。
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先看看以下定义：
* 资料库（Transaction Database）：存储着二维结构的记录集。定义为：D。例如：
TID A B C D E F
--- --- --- --- --- --- ---
001 1 0 1 1 0 0
002 0 1 0 1 0 0
003 1 1 1 0 1 0
004 0 1 0 1 0 1
* 所有项集（Items）
：所有项目的集合。定义为：I。
* 记录（Transaction ）
：在资料库里的一笔记录。定义为：T，T ∈ D，T ⊆ I。
* 项集（Itemset）
：同时出现的项的集合。定义为：k-itemset（k项集），k-itemset ⊆ T。除非特别说明，否则下文出现的k均表示项数。
* 支持度（Support）
：定义为 supp(X) = occur(X) / count(D) = P(X)。
* 置信度（Confidence/Strength）
： 定义为 conf(X->Y) = supp(X ∪ Y) / supp(X) = P(Y|X)。
* 候选集（Candidate itemset）
：通过向下合并得出的项集。定义为C[k]。
* 频繁集（Frequent itemset）
：支持度大于等于特定的最小支持度（Minimum Support/minsup）的项集。表示为L[k]。注意，频繁集的子集一定是频繁集。
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再看看流程：
1) L[1] = {large 1-itemsets};
2) for ( k = 2; L[k-1] ≠ ∅ ; k++ ) do begin
3) C[k] = apriori-gen( L[k-1] ); // New candidates
4) forall transactions t ∈ D do begin
5) C[t] = subset(C[k] , t); // Candidates contained in t
6) forall candidates c ∈ C[t] do
7) c.count++;
8) end
9) L[k] = { c ∈ C[k] | c.count ≥ minsup}
10) end
11) Answer = ∪[k]L[k];
解剖：
* 1)
L[1] = {large 1-itemsets};
第一步是直接利用所有项集作生成C1和L[1]。
* 3)
C[k] = apriori-gen( L[k-1] );
从L[k]-1生成C[k]，逻辑可以用SQL来表示，后面还会有具体例子说明：
insert into C[k]
select p.item[1], p.item[2], ..., p.item[k-1], q.item[k-1]
from L[k-1] p, L[k-1] q
where p.item[1] = q.item[1], ..., p.item[k-2] = q.item[k-2], p.item[k-1] < q.item[k-1];
由于“频繁集的子集一定是频繁集”，换句话说，就是C[k]的所有k-1子集，都必须是属于L[k-1]。所以C[k]生成后，还需要作修剪：
3-1) forall itemsets c ∈ C[k] do
3-2) forall (k-1)-subsets s of c do
3-3) if (s ∉ L[k-1]) then
3-4) delete c from C[k];
* 4)
～8) 是计算C[k]的项集的支持度。
* 5)
C[t] = subset(C[k] , t);
求t里与C[k]的交集，以供6)～7)做计算。
* 9)
L[k] = { c ∈ C[k] | c.count ≥ minsup}
C[k]的支持度算好了，就需要做筛选，然后正式成为L[k]
* 11)
Answer = ∪[k]L[k];
然后这就是结果啦
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下面举例说明：
设：
最小支持度为：40%
最小置信度为：60%
资料库为：
TID A B C D E
--- --- --- --- --- ---
001 1 1 1 0 0
002 1 1 1 1 1
003 1 0 1 1 0
004 1 0 1 1 1
005 1 1 1 1 0
* 以下过程，如果某个步骤是空的，就说明该过程已经满足条件不需要被修剪或筛选。
* 由于格式问题，所以用大写'U'表示数学并集符号'∪'。
* k-itemset后带星号'*'，表示会被修剪掉或筛掉。
+------------------------+-----------------------+-----------------------+-----------------------+
| Candidate =|> Pruning Candidate =|> Saving Frequent =|> Frequent |
+------------------------+-----------------------+-----------------------+-----------------------+
| C[1] | | | L[1] |
| 1-itemset | | | 1-itemset support |
| --------- =|> =|> =|> --------- ------- |
| A | | | A 100% |
| B | | | B 60% |
| C | | | C 100% |
| D | | | D 80% |
| E | | | E 40% |
+------------------------+-----------------------+-----------------------+-----------------------+
| C[2] | | L[2] | L[2] |
| 2-itemset | | 2-itemset support | 2-itemset support |
| --------- =|> =|> --------- ------- =|> --------- ------- |
| A,B | | A,B 60% | A,B 60% |
| A,C | | A,C 100% | A,C 100% |
| A,D | | A,D 80% | A,D 80% |
| A,E | | A,E 40% | A,E 40% |
| B,C | | B,C 60% | B,C 60% |
| B,D | | B,D 40% | B,D 40% |
| B,E | | B,E 20% * | C,D 80% |
| C,D | | C,D 80% | C,E 40% |
| C,E | | C,E 40% | D,E 40% |
| D,E | | D,E 40% | |
+------------------------+-----------------------+-----------------------+-----------------------+
| C[3] | C[3] | | L[3] |
| 3-itemset | 3-itemset | | 3-itemset support |
| --------- =|> --------- =|> =|> --------- ------- |
| A,B,C // AB U AC | A,B,C | | A,B,C 60% |
| A,B,D // AB U AD | A,B,D | | A,B,D 40% |
| A,B,E // AB U AE * | A,C,D | | A,C,D 80% |
| A,C,D // AC U AD | A,C,E | | A,C,E 40% |
| A,C,E // AC U AE | A,D,E | | A,D,E 40% |
| A,D,E // AD U AE | B,C,D | | B,C,D 40% |
| B,C,D // BC U BD | C,D,E | | C,D,E 40% |
| C,D,E // CD U CE | | | |
+------------------------+-----------------------+-----------------------+-----------------------+
| C[4] | | | L[4] |
| 4-itemset | | | 4-itemset support |
| --------- =|> =|> =|> --------- ------- |
| A,B,C,D // ABC U ABD | | | A,B,C,D 40% |
| A,C,D,E // ACD U ACE | | | A,C,D,E 40% |
+------------------------------------------------------------------------------------------------+
根据结果和置信度导出关联规则：
k-itemset support
--------- -------
A,B 60%
A,C 100%
A,D 80%
A,E 40%
B,C 60%
B,D 40%
C,D 80%
C,E 40%
D,E 40%
A,B,C 60%
A,B,D 40%
A,C,D 80%
A,C,E 40%
A,D,E 40%
B,C,D 40%
C,D,E 40%
A,B,C,D 40%
A,C,D,E 40%
由于结果太多，这里只取最后两个做例子：
A,B,C,D
if A and B and C then D conf(A,B,C -> D) = supp(A,B,C,D) / supp(A,B,C) = 40 / 60 = 66%
if A and B and D then C conf(A,B,D -> C) = supp(A,B,C,D) / supp(A,B,D) = 40 / 40 = 100%
if A and C and D then B conf(A,C,D -> B) = supp(A,B,C,D) / supp(A,C,D) = 40 / 80 = 50% *
if B and C and D then A conf(B,C,D -> A) = supp(A,B,C,D) / supp(B,C,D) = 40 / 40 = 100%
if A and B then C and D conf(A,B -> C,D) = ...
if A and C then B and D conf(A,C -> B,D) = ...
if A and D then B and C conf(A,D -> B,C) = ...
if B and C then A and D conf(B,C -> A,D) = ...
if B and D then A and C conf(B,D -> A,C) = ...
if C and D then A and B conf(C,D -> A,B) = ...
if A then B and C and D conf(A -> B,C,D) = ...
if B then A and C and D conf(B -> A,C,D) = ...
if C then A and B and D conf(C -> A,B,D) = ...
if D then A and B and C conf(D -> A,B,C) = ...
A,C,D,E
if A and C and D then E conf(A,C,D -> E) = supp(A,C,D,E) / supp(A,C,D) = 40 / 80 = 50% *
if A and C and E then D conf(A,C,E -> D) = supp(A,C,D,E) / supp(A,C,E) = 40 / 40 = 100%
if A and D and E then C conf(A,D,E -> C) = supp(A,C,D,E) / supp(A,D,E) = 40 / 40 = 100%
if C and D and E then A conf(C,D,E -> A) = supp(A,C,D,E) / supp(C,D,E) = 40 / 60 = 100%
... ...
.
.
.
由于现在的情况是我懒，所以我就不全列出来了。
度量标准还有很多很多很多，如：Lift/Interest、All-confidence、Consine、Conviction、Jaccard、Leverage、Collective strength...
等等等等，太多了。
有兴趣的同学可以多多了解一下。
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温馨小提示：
1.对于整个过程生成的itemset总数量，最坏情况是：2^k - 1。定义为：count-all(k)。例如：
*（有一个抱歉，我记得我之前跟jas说过是2^k，但经过实验，2^k是错的）。
TID A B C D E
--- --- --- --- --- ---
001 1 1 1 0 0
002 1 1 1 1 1
003 1 0 1 1 0
004 1 0 1 1 1
005 1 1 1 1 0
所有项是：A,B,C,D,E，共5项
最坏情况的总数量是：2^5 - 1 = 31
2.对于从L[1]生成C[2]，最坏情况C[2]的数量是：
n(a1 + an) (n - 1)(1 + n - 1) n(n - 1)
---------- = ------------------ = --------
2 2 2
n表示L[1]成员数量。定义为：count-first(n)。
count-first(count(L[1]))，count(L[1])表示求L[1]的成员数量。例如：
L[1]
1-itemset
---------
A
B
C
D
E
最坏情况C[2]的数量是：5 * (5 - 1) / 2 = 10
3.对于从L[k]生成C[k+1]，k≥2，最坏情况C[k+1]的数量是：
count-group(L[k])
∑ count-first(count(group(L[k],i))) 如果 count(group(L[k],i))≥2
i=1
i：第几组同类k-itemset。
count-group(L[k])：求L[k]里共有多少组同类k-itemset。
group(L[k],i)：取L[k]里第i组。
例如：
L[3]
+-----+
|A,B,C|
|A,B,D| <- 第1组
|A,B,E|
+-----+
|A,C,D| <- 第2组
|A,C,E|
+-----+
|A,D,E| <- 第3组
+-----+
|B,C,D| <- 第4组
|B,C,E|
+-----+
|B,D,E| <- 第5组
+-----+
|C,D,E| <- 第6组
+-----+
*第3、5、6组将不会被纳入计算
最坏情况C[k+1]的数量是：(3 * (3 - 1) / 2) + (2 * (2 - 1) / 2) + (2 * (2 - 1) / 2) = 5
4.最小支持度换算：minsup * count(D)。例如：
设：
最小支持度是：40%
TID A B C D E
--- --- --- --- --- ---
001 1 1 1 0 0
002 1 1 1 1 1
003 1 0 1 1 0
004 1 0 1 1 1
005 1 1 1 1 0
0.4 * 5 = 2
接下来C[k]提升为L[k]的筛选，就直接将k-itemset的出现次数与2进行比较，而不需要每次都换算。
5.fisher同学的一个很好的提议，为什么说是很好的提议呢？因为已经涵盖了第2点和第3点。对于从L[k]生成C[k+1]，k≥1，最坏情况C[k+1]的数量是：
k
∏ n-(i-1)
i=1
----------
k
∏ k-(i-1)
i=1
n：所有项集的大小。
k：需要生成多少项的 ?-itemset。
例如：k = 3。I = {A, B, C, D, E}，则 n = 5。
最坏情况C[k+1]的数量是：
(5 - (1 - 1)) * (5 - (2 - 1)) * (5 - (3 - 1)) 5 * 4 * 3
--------------------------------------------- = --------- = 10
(3 - (1 - 1)) * (3 - (2 - 1)) * (3 - (3 - 1)) 3 * 2 * 1
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