费马大定律

2000年前, 希腊先哲毕达哥拉斯杀了100头牛庆贺他所证明的毕式定理 X^2 + Y^2 = Z^2

他的证法到后世已经失传了, 不过这无关紧要, 提到他只是为了引出数学王冠上的名珠 -> 费马大定律

 

1637年, 法国数学家费马在巴歇校订的希腊数学家丢番图的《算术》第II卷第8命题旁边写道:「将一个立方数分为两个立方数, 一个四次幂分为两个四次幂, 或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂, 这是不可能的. 关于此, 我确信已发现一种美妙的证法, 可惜这里空白的地方太小, 写不下」

 

To cut the long story short, 费马大定律就是毕达哥拉斯定律的一个扩展, 他相信 X^n + Y^n = Z^n 这个公式在 n > 2 时是不成立的, 他的美妙证法还没有记录下来, 这个不负责任的家伙就留下一个传奇的猜想去了天国, 后世用了300多年时间, 穷尽了无数大师的心血都没有破解这个看似简单的秘密, 甚至有人说费马大定律在人类文明毁灭之前都不会被证明出来了.

 

358年后的1995年, 美国数学家威尔斯公布了费尔大定律的解法, 得到业界认同, 名噪一时, 秘密真的揭晓了吗? 绝对没有, 威尔斯用了200页的长篇大论, 引入各种最新理论来推导公式, 可以肯定的说, 费马当年所想到的美妙证法一定不会如此复杂. 而且, 威尔斯的证明是建立在日本数学家谷山-志村的猜想之上.

 

若p是一个质数而E是一个Q(有理数域）上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p；除了有限个p值，我们会得到有n_p个元素的有限域F_p上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列

a_p = n_p − p,

这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说:

"所有Q上的椭圆曲线是模的"。

上面这段定义摘自中文wiki, 很不好懂, 再次长话短说的概括一下: 椭圆方程与模形式两个截然不同的数学岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁, 他们是一一对应的, 每个椭圆方程都可以用模形式表达出来, 而费马大定理和谷山-志村猜想是共存关系, 如果费马大定理成立则谷山-志村猜想也成立, 反之依然, 只要对半稳定的椭圆曲线证成谷山猜想，那么也就是证成了费马大定理。

椭圆方程是中学的知识, 假设长轴半径为a, 短轴半径为b, 长轴与X轴重合, 椭圆上的任意一点P(x, y)满足标准公式: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

可是现在依然看不出椭圆方程和费马定理有什么联系呢? ok, 我们先回退一步, 看看毕达哥拉斯定律和正圆形之间有什么关联. 我们知道, 正圆曲线可以用公式来表示为x^2 + y^2=1. 将毕氏定律进行一个小小的变形, a^2 + b^2 = c^2 ==> (a/c)^2 + (b/c)^2 = 1

a, b, c 都是正整数, 所以a/c和b/c都是有理数, 因此毕达格拉斯定律完美的和正圆曲线对应起来了, 只要正圆曲线公式成立, 毕氏定理就是成立的!!! 数学各个领域总能奇妙的关联起来.

很多枯燥的数学公式都可以用直观的几何图形来表示, 把上面的推理扩展一下, 那么费马定律其实就是要证明平面上的曲线点x^n + y^n=1在n>2的时候是不存在的, x, y 都是有理数! 这条曲线就是假想的费马曲线.

在平面解析几何中, 椭圆, 抛物线, 双曲线都是二次曲线, 二次的连续曲线肯定是存在的. 而谷山猜想中的椭圆曲线并非我们中学平面几何中的二次曲线公式,  而是一个三次公式: y^2=x^3+ax^2+bx+c (a, b, c 为任意整数)

X, Y 取值是无限的, 先想象一下将正常数轴延伸到正负无穷的两端对接起来, 形成循环, 就成了所谓的时钟算术, 从而生成解的S序列-> Sn = t (n=1, 2, 3...)

模形式, Modularity Form, 就是在两根实轴和两根虚轴组成的四维空间中的超对称结构. 每个模形式包含不同元素, 形为M序列-> Mn = r (n=1, 2, 3...)

谷山猜想就是说上面的S序列和M序列是一一对应的!

威尔斯到底怎么证明的呢? 首先他用群论理念证明出来每个椭圆方程的S序列中的第一项都和某个模形式M序列中的第一项相等. 根据归纳法, 那么他最后需要证明的是S序列的第n+1项和M序列的第n+1项相等, 这一步却花了5年的光阴.

谷山猜想描述只有四五页, 不过我都看不懂, 以后有空再好好读一下; 网上还有很多人号称自己用初等数学的方法证明出来费马大定理的, 倒是很容易看懂, 不过也很容易发现漏洞, 推理大多建立在错误的假设之上.