最小生成树的两种经典算法:prim算法和kruskal算法都是基于贪心算法的。它们的基本思想都是每一步选取不会形成回路的最小权值的边,对于一个具有n个定点的连通图G,选取n+1条边后形成的树就是G的最小生成树。
设A为最小生成树的一个子集,对于一条边(u,v),如果把它加入到A后,A仍然是最小生成树的子集,就把这样的边(u,v)称为安全边。
有一下定理:设图G=(V,E)是一个无向连通图,并且在E上定义一个具有实数值的加权函数w。设A是G的某个最小生成树的子集。设割(S,V-S)是G的任意一个不妨害A的割(A中不存在通过割的边),且边(u,v)是通过割(S,V-S)的一条权值最小的边(轻边),则边(u,v)对集合A是安全的。
证明略
推论:设G(V,E)是一个无向连通图,并且在E上定义了相应的实数加权函数w,设A是G的某一最小生成树的子集。设C=(Vc,Ec)为深林Ga=(V,A)的一个连同分支,如果边(u,v)是连接C和Ga中其他某连通分支的一条轻边,则(u,v)对集合A是安全的。
上面的一个定理和一割推论就是prim算法和kruskal算法的理论基础。
kruskal直接按推论得出,它把图分成多个不相交的集合(深林),把边按权值从小到大排序。每次选取最小权值的边(u,v),如果该边还没有加入生成树子集A中(u和v不在同一集合中),这是一条安全边,把它加入到A中,并把u和v所在的集合合并。
prim算法把顶点分成两部分A和V-A,每次从集合V-A和A的所有相连边中选择最小权值的边(u,v),u∈A,v∈V-A,由于割(A,V-A)是不妨害A的,所以边(u,v)必定是安全的。每次把v添加到A中后,松弛与v相邻的且在V-A的顶点。当把所有的顶点加入到A中后,整棵树就生成完毕了。
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