四元数与欧拉角之间的转换

转自:http://www.cppblog.com/heath/archive/2009/12/13/103127.html

在3D图形学中，最常用的旋转表示方法便是四元数和欧拉角，比起矩阵来具有节省存储空间和方便插值的优点。本文主要归纳了两种表达方式的转换，计算公式采用3D笛卡尔坐标系：

图1 3D Cartesian coordinate System (from wikipedia)

定义分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度，如果用Tait-Bryan angle表示，分别为Yaw、Pitch、Roll。

图2 Tait-Bryan angles (from wikipedia)

一、四元数的定义

通过旋转轴和绕该轴旋转的角度可以构造一个四元数：

其中是绕旋转轴旋转的角度，为旋转轴在x,y,z方向的分量（由此确定了旋转轴）。

二、欧拉角到四元数的转换

三、四元数到欧拉角的转换

arctan和arcsin的结果是，这并不能覆盖所有朝向(对于角的取值范围已经满足)，因此需要用atan2来代替arctan。

四、在其他坐标系下使用

在其他坐标系下，需根据坐标轴的定义，调整一下以上公式。如在Direct3D中，笛卡尔坐标系的X轴变为Z轴，Y轴变为X轴，Z轴变为Y轴（无需考虑方向）。

五、示例代码

http://www.cppblog.com/Files/heath/Euler2Quaternion.rar
Demo渲染两个模型，左边使用欧拉角，右边使用四元数，方向键Up、Left、Right旋转模型。

参考文献：

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles

[2] Ken Shoemake, Animating Rotation with Quaternion Curves, 1985

posted on 2009-12-13 18:44 Heath

void Quaternion::SetEulerAngle(const EulerAngle &ea)
{
	float fCosHRoll = cos(ea.m_fRoll * .5f);
	float fSinHRoll = sin(ea.m_fRoll * .5f);
	float fCosHPitch = cos(ea.m_fPitch * .5f);
	float fSinHPitch = sin(ea.m_fPitch * .5f);
	float fCosHYaw = cos(ea.m_fYaw * .5f);
	float fSinHYaw = sin(ea.m_fYaw * .5f);

	/// Cartesian coordinate System
	//w = fCosHRoll * fCosHPitch * fCosHYaw + fSinHRoll * fSinHPitch * fSinHYaw;
	//x = fSinHRoll * fCosHPitch * fCosHYaw - fCosHRoll * fSinHPitch * fSinHYaw;
	//y = fCosHRoll * fSinHPitch * fCosHYaw + fSinHRoll * fCosHPitch * fSinHYaw;
	//z = fCosHRoll * fCosHPitch * fSinHYaw - fSinHRoll * fSinHPitch * fCosHYaw;

	w = fCosHRoll * fCosHPitch * fCosHYaw + fSinHRoll * fSinHPitch * fSinHYaw;
	x = fCosHRoll * fSinHPitch * fCosHYaw + fSinHRoll * fCosHPitch * fSinHYaw;
	y = fCosHRoll * fCosHPitch * fSinHYaw - fSinHRoll * fSinHPitch * fCosHYaw;
	z = fSinHRoll * fCosHPitch * fCosHYaw - fCosHRoll * fSinHPitch * fSinHYaw;
}

EulerAngle Quaternion::GetEulerAngle() const
{
	EulerAngle ea;

	/// Cartesian coordinate System 
	//ea.m_fRoll  = atan2(2 * (w * x + y * z) , 1 - 2 * (x * x + y * y));
	//ea.m_fPitch = asin(2 * (w * y - z * x));
	//ea.m_fYaw   = atan2(2 * (w * z + x * y) , 1 - 2 * (y * y + z * z));

	ea.m_fRoll  = atan2(2 * (w * z + x * y) , 1 - 2 * (z * z + x * x));
	ea.m_fPitch = asin(CLAMP(2 * (w * x - y * z) , -1.0f , 1.0f));
	ea.m_fYaw   = atan2(2 * (w * y + z * x) , 1 - 2 * (x * x + y * y));

	return ea;
}