以下介绍的是康托想出的有理数与自然数对应方式,表中的 (p, q) 表示 p/q。 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) … (1, n) … (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) … (2, n) … … … … (m, 1) (m, 2) (m, 3) (m, 4) … (m, n) … 表中 p+q 的值在同一个由右下至左上同一列是相等的,由左上角 (1, 1) 开始,p+q 的值是 2,之后是 (2, 1) 和 (1, 2),而 p+q 的值是 3,这样一直排下去,(1, 1),(2, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 2),(3, 1),(4, 1),...,就把有理数一个个地排成一列。这样,有理数集是有序集合了(可数集合)。所以,有理数集能与自然数集一一对应,可说成两个集合元素个数相同
要证明无理数集是不可数集,按照下面的步骤就可以证明(可以把前三个看成是引理):
1先证有理数集是可数集:
建立这样一个映射: 对于任意一个有理数m/n(既约),构造映射
y=(2^n)(3^m),y是自然数,那么对于不同的m/n,一定有不同的自然数y。所以自然数集的基数不少于有理数集的基数。反过来,自然数是有理数的子集,所以自然数集的基数又不大于有理数集的基数,综上,两集合基数相等,所以有理数集是可数集。
2再证有限个可数集的并集还是可数集。容易找到一种排列顺序,把这可数个可数集的元素按顺序排列起来,这就证明了它的可数性。
3接着证实数集是不可数集,关于这个的证明很多教材上都有,也有不止一种方法,我就不赘述了,基本是用反证法,即先用一种排列去表示实数集,再由这种表示法推出一定有一个实数不能被这种排列所表示,由此推出矛盾。
4最后证明无理数集是不可数集。反证:因为如果无理数集是可数集,那么实数集等于有理数与无理数的并,也应该是可数集,与实数集是不可数集矛盾,所以无理数集是不可数集
摘自:http://wenda.tianya.cn/wenda/thread?sort=wsmopts&tid=71de5219f36fff22
证明实数是不可数集合:
假设实数是可数集合,则可列出(0,1)间的所有实数:
0.t11t12.....t1n
0.t21t22.....t2n
0.t31t32.....t3n
......
现在可以找出一个实数H=0.ti1ti2...tin, 令ti1!=t11,ti2!=t22,...tii!=tnn(这个数是可以找到的),那么可知H是不在上面列出的所有实数中的,所以假设不成立,得出实数不可数。
可数集合:能和自然数一一对应的集合,同理有理数也和自然数一样是可数的,因此无理数只能是不可数集合了。这也证明了无理数比有理数要多。
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