http://poj.org/problem?id=3132
题意就是要求一个数可以分解成指定数个素数的和的种数
方法是参考网上的大牛的做法,学习了!
Sum of Different Primes
Time Limit:5000MS |
|
Memory Limit:65536K |
|
|
|
Description
A positive integer may be expressed as a sum of different prime numbers (primes), in one way or another. Given two positive integersnandk, you should count the number of ways to expressnas a sum ofkdifferent primes. Here, two ways are considered to be the same if they sum up the same set of the primes. For example, 8 can be expressed as 3 + 5 and 5 + 3 but the are not distinguished.
Whennandkare 24 and 3 respectively, the answer is two because there are two sets {2, 3, 19} and {2, 5, 17} whose sums are equal to 24. There are not other sets of three primes that sum up to 24. Forn= 24 andk= 2, the answer is three, because there are three sets {5, 19}, {7, 17} and {11, 13}. Forn= 2 andk= 1, the answer is one, because there is only one set {2} whose sum is 2. Forn= 1 andk= 1, the answer is zero. As 1 is not a prime, you shouldn’t count {1}. Forn= 4 andk= 2, the answer is zero, because there are no sets of two different primes whose sums are 4.
Your job is to write a program that reports the number of such ways for the givennandk.
Input
The input is a sequence of datasets followed by a line containing two zeros separated by a space. A dataset is a line containing two positive integersnandkseparated by a space. You may assume thatn≤ 1120 andk≤ 14.
Output
The output should be composed of lines, each corresponding to an input dataset. An output line should contain one non-negative integer indicating the number of the ways fornandkspecified in the corresponding dataset. You may assume that it is less than 231.
Sample Input
24 3
24 2
2 1
1 1
4 2
18 3
17 1
17 3
17 4
100 5
1000 10
1120 14
0 0
Sample Output
2
3
1
0
0
2
1
0
1
55
200102899
2079324314
0-1背包问题讲解
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN),其中时间复杂度应该已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O。
先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组f[0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下:
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}
,因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案,故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。
事实上,使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到,所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程,以后的代码中直接调用不加说明。
过程ZeroOnePack,表示处理一件01背包中的物品,两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。
procedure ZeroOnePack(cost,weight)
for v=V..cost
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了,避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了,就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1],这是显然的。
有了这个过程以后,01背包问题的伪代码就可以这样写:
for i=1..N
ZeroOnePack(c[i],w[i]);
初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
为什么呢?可以这样理解:初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”,其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为0了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。
一个常数优化
前面的伪代码中有 for v=V..1,可以将这个循环的下限进行改进。
由于只需要最后f[v]的值,倒推前一个物品,其实只要知道f[v-w[n]]即可。以此类推,对以第j个背包,其实只需要知道到f[v-sum{w[j..n]}]即可,即代码中的
for i=1..N
for v=V..0
可以改成
for i=1..n
bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]}
for v=V..bound
这对于V比较大时是有用的。
小结
01背包问题是最基本的背包问题,它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想,另外,别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法,状态转移方程的意义,以及最后怎样优化的空间复杂度。
分享到:
相关推荐
北大POJ1015-Jury Compromise【动态规划DP】 解题报告+AC代码
北大POJ2739-Sum of Consecutive Prime Numbers 解题报告+AC代码
北大POJ初级-动态规划 解题报告+AC代码
3.线性的动态规划问题 <1>积木游戏问题 决斗(判定性问题) 圆的最大多边形问题 统计单词个数问题 棋盘分割 日程安排问题 最小逼近问题(求出两数之比最接近某数/两数之和等于某数等等) 方块消除游戏(某区间...
POJ上的一道题目,自己写的代码,因为想下载别人的, 所以就放上了。
经典的0-1背包问题. 适合新手学习. 原题网址:http://poj.grids.cn/problem?id=2773
关于poj dp分类,我一直寻找dp的分类,终于找到了,也上传一下
8.徐源盛《对一类动态规划问题的研究》 背包九讲Pack 【专辑】插头DP 【专辑】单调队列+斜率优化的DP 01背包问题 acm动态规划总结 PKU——DP专辑 背包之01 POJ 动态规划总结 背包之01背包、完全背包、多重背包详解 ...
POJ水题集-----50道左右-----增加自信啊..
北大POJ2002-Squares 解题报告+AC代码
动态规划DP题解 POJ HDU 动态规划解题报告
PKU Online Judge上面很全面的动态规划试题总结。动态规划是ACM考点中最重要的一大类算法之一,对于工作人员来说,动态规划也是实际开发中...这是POJ上面很多DP题目的总结与深刻分析。利于算法学习,学长给的,在此分享
poj2479代码 Maximum sum 对于这道题,我的思路是先从左到右,计算并存储每个节点
OJ动态规划DP题目列表 POJ SOJ HDU 动态规划题目
poj经典动态规划题目解题报告,包括经典的动态规划题目20多道,可以作为学习动态规划系统的资料,包括题目: Pku acm 1179 Polygon Pku acm 1125 Stockbroker Grapevine Pku acm 1160 post office Pku ...
北大POJ3292-Semi-prime H-numbers 解题报告+AC代码
北大POJ2109-Power of Cryptography 解题报告+AC代码
北大POJ3414-Pots 解题报告+AC代码
北大POJ2151-Check the difficulty of problems 解题报告+AC代码
POJ3211--Washing Clothes