数理逻辑之 自然演算规则（一）

 

 

   上一篇数理逻辑之 命题讲了关于命题的基本概念。

那么如何建立一个用于命题推理的演算，使得我们能建立前面论证的有效性呢？我们希望有一个规则集合，每条规则可以在给定某一前提假设序列，而得出一个结论。

在自然演算中，我们有一个证明规则集。用这一证明规则集，我们可以从一些公式推出另一些公式。

假设我们有一个公式集Θ1, Θ2, Θ3, Θn，也称为前提集，另一公式Ψ称为结论。我们通过对这些前提应用证明规则，我们希望得到更多的公式。然后再应用证明规则，最终得到我们想要的结论：

Θ1, Θ2, Θ3, …, Θn├Ψ

我们称这个表达式为相继式。

我们说一个相继式是有效的，当且仅当能找到它的一个证明。

还记得我吗前面的例子吗？

例1
①If the train arrives late and there are no taxis at the station, then John is late for his meeting.
②John is not late for his meeting.
③The train did arrive late.
④Therefore, there were taxis at the station.
例2
①If it is raining, and Jane does not have her umbrella with her, then she will get wet.
②Jane is not wet.
③It is raining.
④Therefore, Jane has her umbrella with her.

      例1和例2的论证形式可表示为：

p∧﹁q → r,
﹁r,
p├ q

去构造一个证明是一个富于创造性的活动，这类似于编写程序。

 

让我们开始来学习一些自然演算规则吧。

（Ⅰ）合取规则

  合取规则有三个，前面是各自的规则，后面是他们的记号，我们后面在使用这些规则的时候只使用记号来表示。

先解释下规则是怎么看懂的：横线上面表示前提，横线下面表示结论。还不明白？来看一个例子：

例4   证明 p∧q,r ├ q∧r是有效的

p∧q        前提假设
r           前提假设
q           ∧e2  1
q∧r        ∧i   3,2 

 请问能看懂题目是什么意思吗？还记得相继式的概念吗？题目就是要证明一个相继式。

那么能看懂证明过程吗？还记得我吗初中的时候开始学习证明，每一步后面都要写上原因吗？这里也一样，为了更明白和深入理解规则，每一步后面都写了原因。

前两行都是相继式左边给出的，直接写上，第三行是根据第1行使用第三个合取规则e2得到的，所以写上“∧e2 1”，第四行同理，是根据第3行和第2行合取到的。

你可能会说：我了个去，这么简单，我也会编写逻辑教材了。别着急，如果你还记得第一篇文章里提到的那些概念，你就知道好戏才刚刚开始。

再来看一道题目：证明 (p ∧ q)∧r, s∧t├ q∧s 是有效的。

 

    (p ∧ q)∧r       前提假设
    s∧t              前提假设
    p ∧ q           ∧e1 1
    s                  ∧e1  2
    q                  ∧e2  3
    q∧s             ∧i    5,4 

 你有没有咆哮：难道合取就这简单，敢不敢来电更难的？

不好意思，合取规则真的就这命简单，三条都通俗易懂。如果你想想欧几里德的几条公设是不是心情会稍微平伏点？

这里有一点要说：对于一个有效的相继式，可能有多个证明。但不管哪个证明，我们都可以至顶向下逐行检查对证明规则应用的有效性（正确性）。这对于我们以后的表述很有意义。