最近几次笔试总碰到堆排序,恰好这种排序是自己没学过的,所以看了一下堆排序,才知道堆排序其实是一种比较快的排序算法,自己整理了一下写出来,加深自己的印象。
堆排序
堆的定义:把待排序序列看成一棵完全二叉树,当满足以下条件的一个时,称为堆:
ki ≤ k2i 且 ki ≤ k2i+1 (小顶堆) 或者
ki ≥ k2i 且 ki ≥ k2i+1 (大顶堆) 其中i=1,2,3...n/2
在一棵完全二叉树中,每个父节点跟其左右孩子之间的序号关系是i和2i、2i+1的关系,所以
在满足了堆条件后,堆的最顶部的节点对应的值就是最小值或最大值。
堆排序过程:首先将初始序列建成堆,则堆顶元素就是最大或最小的值,然后继续对剩下的n-1个序列建堆,得到次大或次小元素,以此类推下去,知道执行n-1次后便完成堆排序。
完成堆排序要解决两个问题:
1、如何将n个元素的序列建成堆(初始堆)
2、如何将剩下的n-1个元素调整为一个新堆(因为初始堆的堆顶元素被互换之后,堆被打乱了,需要调整。
初始堆:对n个结点的完全二叉树,可以认为:以叶子为根的子树(只有它自己)已满足堆特性 因此从最后一个分支结点开始,把每棵子树调整为堆,直到根结点为止,整棵树成为堆。最后一个分支节点是第n/2个。
调整堆:
假设有一个大根堆,当输出堆顶元素(根结点)后,以堆中最后一个元素替代它。此时根结点的
左子树和右子树均为堆,则只需自上而下进行调整即可。
首先将堆顶元素与其左、右子树根结点的值进行比较,如果堆顶元素比它的两个子结点都大,则
已经是堆;否则,让堆顶元素与其中较大的孩子结点交换,先让堆顶满足堆的性质。可能因为交换,
使交换后的结点为根的子树不再满足堆的性质,则重复向下调整,当调整使新的更小子树依旧满足堆
的性质时,重新建堆的过程结束。
Java实现代码:
public class HeapSort { public static void main(String[] args) { int num[] = new int[] { 0, 5, 40, 32, 2, 2221 }; heapsort(num, 5); for (int x = 0; x < num.length - 1; x++) { System.out.print(num[x + 1] + " "); } } //调整堆 public static void adjustHeap(int[] num, int s, int t) { int i = s; int x = num[s]; for (int j = 2 * i; j <= t; j = 2 * j) { if (j < t && num[j] < num[j + 1]) j = j + 1;// 找出较大者把较大者给num[i] if (x > num[j]) break; num[i] = num[j]; i = j; } num[i] = x; } //主函数 public static void heapsort(int[] num, int n) { // 初始建堆从n/2开始向根调整 int i; for (i = n / 2; i >= 1; i--) { adjustHeap(num, i, n);//初始堆过程 } for (i = n; i > 1; i--) { num[0] = num[i];// 将堆顶元素与第n,n-1,.....2个元素相交换 num[i] = num[1]; num[1] = num[0];// 从num[1]到num[i-1]调整成新堆 adjustHeap(num, 1, i - 1); } } }
它的时间复杂度:
堆是一个完全二叉树,设树高为k=log2n+1,从根到叶的调整,关键码比较的次数为2(k-1),交换的次数至多为
k次。所以比较的次数不超过:
2*(log2(n-1)+log2(n-2)+....+log22)<2nlog2n
而比较的次数不超过4n.所以堆排序的时间复杂度为O(nlogn).
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