图(1)——图的定义和基本概念

概述

图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。

线性结构：是研究数据元素之间的一对一关系。在这种结构中，除第一个和最后一个元素外，任何一个元素都有唯一的一个直接前驱和直接后继。

树结构：是研究数据元素之间的一对多的关系。在这种结构中，每个元素对下(层)可以有0个或多个元素相联系，对上(层)只有唯一的一个元素相关，数据元素之间有明显的层次关系。

图结构：是研究数据元素之间的多对多的关系。在这种结构中，任意两个元素之间可能存在关系。即结点之间的关系可以是任意的，图中任意元素之间都可能相关。

图的基本概念

图的定义和术语

一个图(G)定义为一个偶对(V,E)，记为G=(V,E)。其中：V是顶点(Vertex)的非空有限集合，记为V(G)；E是无序集V&V的一个子集，记为E(G)，其元素是图的弧(Arc)。

将顶点集合为空的图称为空图。其形式化定义为：

G=(V，E)

V={v|vÎdataobject}

E={<v,w>|v,wÎV∧p(v,w)}

P(v,w)表示从顶点v到顶点w有一条直接通路。

弧(Arc)：表示两个顶点v和w之间存在一个关系，用顶点偶对<v,w>表示。通常根据图的顶点偶对将图分为有向图和无向图。

有向图(Digraph)：若图G的关系集合E(G)中，顶点偶对<v,w>的v和w之间是有序的，称图G是有向图。

在有向图中，若<v,w>ÎE(G)，表示从顶点v到顶点w有一条弧。其中：v称为弧尾(tail)或始点(initialnode)，w称为弧头(head)或终点(terminalnode)。

无向图(Undigraph)：若图G的关系集合E(G)中，顶点偶对<v,w>的v和w之间是无序的，称图G是无向图。

在无向图中，若"<v,w>ÎE(G)，有<w,v>ÎE(G)，即E(G)是对称，则用无序对(v,w)表示v和w之间的一条边(Edge)，因此(v,w)和(w,v)代表的是同一条边。

例1：设有有向图G1和无向图G2，形式化定义分别是：

G1=(V1，E1)

V1={a,b,c,d,e}

E1={<a,b>,<a,c>,<a,e>,<c,d>,<c,e>,<d,a>,<d,b>,<e,d>}

G2=(V2，E2)

V2={a,b,c,d}

E2={(a,b),(a,c),(a,d),(b,d),(b,c),(c,d)}

它们所对应的图如图所示。

完全无向图：对于无向图，若图中顶点数为n，用e表示边的数目，则eÎ[0，n(n-1)/2]。具有n(n-1)/2条边的无向图称为完全无向图。完全无向图另外的定义是：

对于无向图G=(V，E)，若"vi，vjÎV，当vi≠vj时，有(vi,vj)ÎE，即图中任意两个不同的顶点间都有一条无向边，这样的无向图称为完全无向图。

完全有向图：对于有向图，若图中顶点数为n，用e表示弧的数目，则eÎ[0，n(n-1)]。具有n(n-1)条边的有向图称为完全有向图.完全有向图另外的定义是：

对于有向图G=(V，E)，若"vi，vjÎV，当vi≠vj时，有<vi,vj>ÎE∧<vj,vi>ÎE，即图中任意两个不同的顶点间都有一条弧，这样的有向图称为完全有向图。

有很少边或弧的图（e<n㏒n）的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

权(Weight)：与图的边和弧相关的数。权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。

子图和生成子图：设有图G=(V，E)和G’=(V’，E’)，若V’ÌV且E’ÌE，则称图G’是G的子图；若V’=V且E’ÌE，则称图G’是G的一个生成子图。

顶点的邻接(Adjacent)：对于无向图G=(V，E)，若边(v,w)ÎE，则称顶点v和w互为邻接点，即v和w相邻接。边(v,w)依附(incident)与顶点v和w。

对于有向图G=(V，E)，若有向弧<v,w>ÎE，则称顶点v“邻接到”顶点w，顶点w“邻接自”顶点v，弧<v,w>与顶点v和w“相关联”。

顶点的度、入度、出度：对于无向图G=(V，E)，"viÎV，图G中依附于vi的边的数目称为顶点vi的度(degree)，记为TD(vi)。

显然，在无向图中，所有顶点度的和是图中边的2倍。即∑TD(vi)=2ei=1,2,…,n，e为图的边数。

对有向图G=(V，E)，若"viÎV，图G中以vi作为起点的有向边(弧)的数目称为顶点vi的出度(Outdegree)，记为OD(vi)；以vi作为终点的有向边(弧)的数目称为顶点vi的入度(Indegree)，记为ID(vi)。顶点vi的出度与入度之和称为vi的度，记为TD(vi)。即

TD(vi)=OD(vi)+ID(vi)

路径(Path)、路径长度、回路(Cycle)：对无向图G=(V，E)，若从顶点vi经过若干条边能到达vj，称顶点vi和vj是连通的，又称顶点vi到vj有路径。

对有向图G=(V，E)，从顶点vi到vj有有向路径，指的是从顶点vi经过若干条有向边(弧)能到达vj。或路径是图G中连接两顶点之间所经过的顶点序列。即

Path=vi0vi1…vim，vijÎV且(vij-1,vij)ÎEj=1,2,…,m或

Path=vi0vi1…vim，vijÎV且<vij-1,vij>ÎEj=1,2,…,m

路径上边或有向边(弧)的数目称为该路径的长度。

在一条路径中，若没有重复相同的顶点，该路径称为简单路径；第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路(环)；在一个回路中，若除第一个与最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路(简单环)。

连通图、图的连通分量：对无向图G=(V，E)，若"vi，vjÎV，vi和vj都是连通的，则称图G是连通图，否则称为非连通图。若G是非连通图，则极大的连通子图称为G的连通分量。

对有向图G=(V，E)，若"vi，vjÎV，都有以vi为起点，vj为终点以及以vj为起点，vi为终点的有向路径，称图G是强连通图，否则称为非强连通图。若G是非强连通图，则极大的强连通子图称为G的强连通分量。

“极大”的含义：指的是对子图再增加图G中的其它顶点，子图就不再连通。

生成树、生成森林：一个连通图(无向图)的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部n个顶点和只有足以构成一棵树的n-1条边，称为图的生成树，如图所示。

关于无向图的生成树的几个结论：

◆一棵有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边；

◆如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图；

◆如果多于n-1条边，则一定有环；

◆有n-1条边的图不一定是生成树。

有向图的生成森林是这样一个子图，由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点。

有向树是只有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图，如图7-3所示。

网：每个边(或弧)都附加一个权值的图，称为带权图。带权的连通图(包括弱连通的有向图)称为网或网络。网络是工程上常用的一个概念，用来表示一个工程或某种流程，如图7-4所示。

图的抽象数据类型定义

图是一种数据结构，加上一组基本操作就构成了图的抽象数据类型。图的抽象数据类型定义如下：

Graph{

数据对象V：具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。

数据关系R：R={VR}

VR={<v,w>|<v,w>|v,wÎV∧p(v,w)，<v,w>表示从v到w的弧，P(v,w)定义了弧<v,w>的信息}

基本操作P：

添加顶点

添加边

获得顶点的个数

获得边的条数

移除顶点

移除边

……

}

图的接口Graph

package datastructure.graph;
/**
 * 图的接口
 * @author luoweifu
 *
 */
public interface Graph {
	/**
	 * 添加顶点
	 * @param v
	 */
	public void addVex(Object v);
	/**
	 * 添加边
	 * @param v1 第一个顶点
	 * @param v2 第二个顶点
	 * @param weight 权值
	 */
	public void addEdge(Object v1, Object v2, double weight);
	/**
	 * 添加边
	* @param v1 第一个顶点
	 * @param v2 第二个顶点
	 * @param info 边信息
	 * @param weight 权值
	 */
	public void addEdge(Object v1, Object v2, Object info, double weight);
	/**
	 * 置空图
	 */
	public void clear();
	/**
	 * 获得顶点v的第一个邻接结点
	 * @param v 顶点
	 * @return 顶点v的第一个邻接结点
	 */
	public Object getFirstVertex(Object v);
	/**
	 * 在图G中寻找v1结点的邻接结点v2的下一个邻接结点
	 * @param v1 顶点
	 * @param v2 v1的一个邻接结点
	 * @return 邻接v1的在v2后的一个结点
	 */
	public Object getNextVertex(Object v1, Object v2);
	/**
	 * 获得顶点的个数
	 * @return
	 */
	public int getVertexSize();
	/**
	 *获得边的条数
	 * @return
	 */
	public int getEdgeSize();
	/**
	 * 移除顶点
	 * @param v 顶点
	 */
	public void removeVex(Object v);
	/**
	 * 移除边
	 * @param v1 顶点1
	 * @param v2 顶点2
	 */
	public void removeEdge(Object v1, Object v2);
	/**
	 * 深度优先遍历
	 * @param o 遍历的初始顶点
	 * @return 遍历的结果
	 */
	public String dfs(Object o);
	/**
	 * 深度优先遍历
	 * @param o 遍历的初始顶点
	 * @return 遍历的结果
	 */
	public String bfs(Object o);
	/**
	 * 打印图的各顶点
	 * @return
	 */
	public String printGraph();
}

边的接口Edge

package datastructure.graph;


public abstract class Edge implements Comparable{
	protected double weight;
	protected Object info;
	/**
	 * 构造函数
	 */
	public Edge() {
		this.weight = 0;
	}
	/**
	 * 构造函数
	 * @param weight 权值
	 */
	public Edge(double weight) {
		this.weight = weight;
	}
	public Edge(Object info, double weight) {
		this.weight = weight;
		this.info = info;
	}
	
	/**
	 * 获取权值
	 * @return 权值
	 */
	public double getWeight() {
		return weight;
	}
	/**
	 * 设置权值
	 * @param weight 权值
	 */
	public void setWeight(double weight) {
		this.weight = weight;
	}
	/**
	 * 获取边的信息
	 * @return 边的信息
	 */
	public Object getInfo() {
		return info;
	}
	/**
	 * 设置边的信息
	 * @param info　边的信息
	 */
	public void setInfo(Object info) {
		this.info = info;
	}
	/**
	 * 获取边的第一个顶点
	 * @return 第一个顶点
	 */
	public abstract Object getFirstVertex();
	/**
	 * 获取边的第二个顶点
	 * @return　第二个顶点
	 */
	public abstract Object getSecondVertex();
}