作为面试题目不错的，有意思的兔子问题。

http://www.cnblogs.com/j2eedesigner/archive/2008/12/26/1362743.html 

   g(0）=1;g(n)=g(n-1)+2g(n-2)+3g(n-3)+...+(n-1)g(1)+ng(0);

  偶遇，某大牛（高中数学老师），他一道题目比较有意思（属于加强型的兔子问题），纠结了蛮久，想不出如何推导出通项，看到人家推出结果，自己推不出，难免不爽。。。。。
找百度，GOOGLE根本木有。。。。。
  还是感谢oeis，老实说我英文菜的要死，小学单词量都没。

  如何求解：其实也是蛮简单的

根据条件：g(0）=1;g(n)=g(n-1)+2g(n-2)+3g(n-3)+...+(n-1)g(1)+ng(0);

我们可以推导出：
g(n+1)=3g(n)-g(n-1)（证明过程很长，不写了）基本方法就是化成冥次方法： g(n)=x^(n-1)+2x^(n-2)+....n


然后有了g(n+1)=3g(n)-g(n-1)我们设
g(n)=x^n
x^(n+1)-x^n+x^(n-1)=0
提取x^(n-1)
求解x^2-x+1=0的解
因为x^(n-1) 不等于0
所以x^2-x+1=0才是所求的。（到这步就和求普通兔子问题一样的方法了。）

你这本质是一样的，证明过程也很简单，2步就可以了
g(n)-g(n-1)=g(n-1)+g(n-2)+g(n-3)+........+g(0)
g(n+1)-g(n)=g(n)+g(n-1)+g(n-2)+........+g(0)
再相减就是g(n+1)=3g(n)-g(n-1)
其实和f(n)=f(n-1)+f(n-2)差不多

膜拜数学系大牛。我还发过一题。加强型汉诺塔，本论坛至今无人解答，盼望看看。。。

汉诺塔的问题找最优解估计比较麻烦，网上给的递归解只是一种可行解，不一定是次数最少的。
N根塔，M个盘子，先把前N-3个盘子放在中间的N-3个塔上，再按照3个塔的那样玩法把第一个塔的所有盘子移到第N个塔上(中间要借用第N-1个塔),再把剩下的塔移到第N个塔上。
设G(3,M)为3根塔，M个盘子所要的移动步数，则G(N,M)=G(3,M)+2(N-3)

恩，这个就是我在CSDN发过的题目。。
最优解：你把多余N-3<K个盘子放到N-3个盘子上时候，多出的次数，和你把在K-N-3盘子从第一根用三根塔方法放到第N根盘子的次数是一样的。。。。

瞄了第一个递推的，如果令前n项和的数列为s(n)的话，有：
g(n) = g(n-1) + s(n-1)
以此递推的话估计也能完成……

修改：
发现自己也是看贴不仔细啊，LZ的走的路线和我的差不多。
不过推导前n项和的关系没那么麻烦：
我们注意到：
g(n) = g(n-1) + 2g(n-2) + ... + (n-1)g(1)
g(n-1) = g(n-2) + 2g(n-3) + ... + (n-2)g(1)
于是有
g(n) - g(n-1) = g(n-1) + g(n-2) + g(n-3) + ... + g(1) = s(n-1)
于是有：
g(n) = g(n-1) + s(n-1)
s(n) = s(n-1) + g(n) = 2s(n-1) + g(n-1) = 2s(n-1) + s(n-1) - s(n-2) = 3s(n-1) - s(n-2)
也就是：
s(n+1) = 3s(n) - s(n-1)
不过LZ和引用文献里的用方程求解的方法，应该是通用的，这个是特例的

此题很简单的说吧，学过高等数学的都应该知道吧,但是要考虑临界点的问题。
设n=k+1 n-1=k，然后用g(n)+g(n-1)....= g(k+1)+g(k)....
又g(k)+g(k-1)....=g(0);错位相消
这样应该就可以算出来了吧呵呵
还有就是楼主给的那个展开式好像是(1+x)^n 级数展开式吧，貌似叫什么麦克劳伦公式，是当泰勒级数展开后 中令g(x) x=0的时候的特殊情况

高中的替代法

不是泰勒级数 ，冥次生成函数。
公式差不多，但系数的意义和公式应用范围不一样。

这是高中数学，不是高数