代数簇、理想、商环

1、F[x1,x2,...,xn]中的一组多项式{fi(x1,x2,...,xn)}的公共零点集称为F^n的一个代数簇，或仿射代数簇。

2、C为代数簇，即为公共零点集，零点集包含C的所有多项式的集合，即包括公共零点集的所有多项式的集合

3、I=｛f(x,y,z)∈R[x,y,z]|f(c1,c2,c3)=0,存在(c1,c2,c3)∈C｝,

 

1)I对多项式减法 封闭即

f(x,y,z)∈I,g(x,y,z)∈I=>f(x,y,z)-g(x,y,z)∈I

1)I有吸引性

f(x,y,z)∈I,h(x,y,z)∈R[x,y,z]=>f(x,y,z)h(x,y,z)∈I

可以看到Ih∈I,h被吸收了

4、由此得到理想的概念

a∈I,b∈I=>a-b∈I

 

 

 

且I具有吸收性

a∈I,r∈R=>ar∈I,ra∈I

称I是R的一个理想，或双边理想，

如果I对减法封闭，且具有左吸收性，即

a∈I,r∈R=>ra∈I

称I是R的一个左（右）理想

5、每个理想是一个子集，很多理想组合是这些子集的交集

设S是环R的一个非空子集，环R的包含S的所有理想的交称为由S生成的理想，记作（S），如果S={a1,a2,...,an},则称（S）是有限生成的，并把（S）记成(a1,a2,...,an)

6、环R中由一个元素a生成的理想称为主理想,记为(a)

设R是有单位元的交换环，Ra是由一个元素a生成的理想，因此Ra是主理想，记为(a)

7、商环R/I的元素是I的陪集r+I