谓词逻辑之 量词（我们需要更丰富的语言）

前面已经说完了命题逻辑。命题逻辑的可满足性是基于原子命题的赋值，但它局限性很大，只能处理或且非和如果那么这几种情况。你不会简单的认为这就足够了吧。举个例子吓到你：

›	“所有的人总是要死的”           p
›	“苏格拉底是人”                    q
›	“所以苏格拉底是要死的”        r

 其中前两条是前提假设。我们能不能据此得到第三条呢？

你犹豫了好久，战战兢兢的说：“能”！

的确，这个结论是可以得出的，但是能否用命题逻辑来表达呢？比如 P∧Q->R？

太明显了，这个论证是不合格的：我们完全看不出这三个原子命题有什么关系，也就无法证明它的可满足性。

因为原子命题的不可再分性，这个论证已经超出了命题逻辑的表达范围。

所以我们需要更丰富的语言：谓词逻辑  predicate logic。

 命题逻辑处理人类语言中诸如：否、并、或和如果取得了令人满意的结果，但是处理如：存在、所以、在……中，命题逻辑有其局限性。所以我们需要更精确的谓词逻辑来表达判断语句，也称为一阶逻辑(first-order logic)。

 

我们来看一个例子：每个学生都比他的某个老师年轻    (2-1)

先请仔细考虑一下这个断言的意思。接下来我们使用谓词逻辑来表达它：

S(x):        x是一名学生
I(x):         x是一位老师
Y(x，y):   x比y年轻

 在引入量词∀(对所有的，单词all的首字母反写)和∃(存在或对某个，单词exist的首字母反写)之后，可以用符号的形式写出上述例句：∀x(S(x)→(∃y(I(y)∧Y(x,y))))

即：对任意x,若x是一个学生，则存在某个y,y是一位老师，使得x比y年轻。

怎么样，这俩符号是不是很熟悉：我们高中就常打交道是吧！

 

 再来看一个复杂点的例子：不是所有的鸟都可以飞

B(x)：x是一只鸟

F(x)：x可以飞翔

 

￢(∀x(B(x)→F(x))

其含义为：只要是鸟就可以飞翔，这种情况是不成立的。

 即也是：存在一个x，x是鸟，但不能飞翔

编码为：∃x(B(x)∧￢F(x))

以上两个公式实际是语义等价的。